Берхтесгаденское свидание 1938

Берхтесга'денское свида'ние 1938,встреча английского премьер-министра Н. Чемберлена с германским рейхсканцлером А. Гитлером 15 сентября в Берхтесгадене (Berchtesgaden, Бавария). Во время встречи Чемберлен, стремившийся к достижению соглашения с Германией и старавшийся направить германскую агрессию против СССР, согласился в принципе с требованиями Гитлера о присоединении к Германии Судетской области Чехословакии. Б. с. явилось одним из этапов непосредственной подготовки Мюнхенского соглашения 1938 .

  Публ.: Documents on British foreign policy 1919-1939, 3 ser., v. 2, L., 1949.

Берце Визбулис Аугустович

Бе'рцеВизбулис Аугустович (р. 28.10.1916, Иркутск), латышский советский писатель. Член КПСС с 1947. Сын революционера и писателя А. Арайса-Берце. Окончил Московский юридический институт в 1940. Участник Великой Отечественной войны. Первые книги: «Сила сильных» (1948) - рассказы военных лет и «Первые одиннадцать» (1949) - повесть о первых шагах коллективизации сельского хозяйства в Латвии. Главные темы последующих произведений Б. - жизнь и труд советских рабочих, проблемы, волнующие юношество (романы «Будущее начинается сегодня», 1951, «Вышли мы все из народа», 1956, «Наследство», 1965, повесть «Эрика, Дзидра и другие», 1966). После поездки по Дальнему Востоку написал репортаж «Редакция на колёсах» (1961). Размышления о писательском труде содержит книга «Цветные сны» (1963) и «За синей птицей» (1968). Все книги Б. переведены на русский язык. Награжден орденом «Знак Почёта».

  Лит.:Очерк истории латышской советской литературы, Рига, 1957.

  Я. Р. Озолс.

Берцелиус Йенс Якоб

Берце'лиус(Berzelius) Йенс Якоб (20.8.1779, Веверсунда, - 7.8.1848, Стокгольм), шведский химик и минералог. В 1802 получил степень доктора медицины в Упсальском университете, профессор университета в Стокгольме (1807), а с 1810 по 1832 - Медико-хирургического института там же. С 1808 член АН в Стокгольме (в 1810 её президент и с 1818 непременный секретарь). С 1820 иностранный почётный член Петербургской АН. Заслуга Б. - в экспериментальном обосновании атомистики, её развитии и внедрении в химию. В 1810-16 Б. на материале анализов окислов дал новые доказательства кратных отношений закона.

 В 1814 составил по собственным данным таблицу атомных масс 41 элемента и предложил обозначать атомы элементов начальными буквами их греческих и латинских названий (см. Знаки химические ) .В 1818 опубликовал таблицу атомных масс 46 элементов и процентный состав около 2 тыс. соединений, лично им проанализированных.

  Основой теоретических воззрений Б. было положение об электрической природе химического сродства. В 1807 Берцелиус и В. Гизингер пришли к выводу, что все соли состоят из кислот и оснований и что, подобно солям, все химические соединения имеют двойственный состав. В дальнейшем Б. высказал (в 1812-19) свою электрохимическую теорию, которая была в целом прогрессивным явлением в истории химии.

  Б., вслед за А. Лавуазье , приписывал кислороду исключительную способность образовывать кислоты, причём кислотами Б. называл ангидриды кислот и долго отрицал существование бескислородных кислот (HCl и др.). Все химические соединения Б. расположил в общий ряд, причём электроотрицательный его конец заняли кислоты, электроположительный - основания, а соли поместились в середине ряда. Исследуя различные минералы и руды, Б. вместе с Гизингером открыл в 1803 церий, в 1817 селен, а в 1828 торий; в 1824-25 впервые получил в свободном состоянии кремний, титан, тантал и цирконий.

  В 1811 Б. начал систематические определения элементарного состава органических соединений и к 1814 показал, что их состав подчиняется закону кратных отношений. В 1815 дал первые формулы некоторых органических кислот. Когда были обнаружены органические соединения, обладающие при одинаковом составе различными свойствами, Б. назвал в 1830 это явление изомерией .

 Б. неуклонно отстаивал атомистику в химии, признавал реальность атомов и возможность познать конституцию химических соединений. В этом проявились его материалистические взгляды, способствовавшие развитию науки. Деятельность Б. способствовала развитию химии 1-й половины 19 в., что признали современники, называвшие его законодателем химии.

  Соч.:Afhandliger i fysik, kemi och mineralogi, bd 1-6, Stockh., 1806-18; Lehrbuch der Chemie, 5 Aufl., Bdl-5, Lpz., 1847-56.

  Лит:Соловьев Ю. И., Куринной В. И., Якоб Берцелиус, М., 1961; Sцderbaum Н. G., Jacob Berzelius, Bd I- 3, Uppsala, 1923-39; Hoimberg A., Bibliographi цver J.J. Berzelius, dl 1-2, Stockh., 1933-36; suppi. 1-2, Stockh., 1936-53.

Й. Я. Берцелиус.

Бёрч Артур

Бёрч(Birch) Артур (р. 3.8.1915, Сидней), австралийский химик-органик, член Австралийской АН (1954). Окончил Сиднейский университет (1937). Профессор органической химии Сиднейского (1952-55) и Манчестерского (1955-67) университетов. Профессор и декан Института прикладных исследований Австралийского национального университета (Канберра, с 1970). Основные работы в области синтеза природных соединений. Исследовал реакцию восстановления ароматических соединений в дигидроароматические действием натрия и спирта в среде жидкого аммиака («восстановление по Бёрчу»). Член Лондонского королевского общества (1958). Иностранный член АН СССР (1976).

Берчогур

Берчогу'р, посёлок городского типа в Челкарском районе Актюбинской области Казахской ССР. Расположен в отрогах Мугоджар, в 18 кмот ж.-д. станции Б. (на линии Оренбург - Ташкент). 2,8 тыс. жителей (1968). Заводы щебёночный и строительных материалов.

Берш

Берш(Lucioperca volgensis), рыба семейства окунёвых; близка к судаку. Длина обычно около 25 см,весит 250 г; иногда длина 45 см,весит 1,4 кг.Встречается в бассейнах северных частей Каспийского, Чёрного и Азовского морей (главным образом в низовьях впадающих в них рек). Питается мальками, мелкой рыбой и ракообразными. Нерест в апреле - мае. Промысловое значение невелико.

Бершадь

Бе'ршадь,город (до 1966 - посёлок городского типа), центр Бершадского района Винницкой области УССР, на р. Дохна (бассейн Южного Буга). Ж.-д. станция. 11,8 тыс. жителей (1969). Сахарный, спиртовой комбинаты, маслодельный, сухого молока, металлических изделий заводы, мебельная, швейная фабрики.

Берше Джованни

Берше'(Berchet) Джованни (23.12.1783, Милан, - 23.12.1851, Турин), итальянский поэт. Один из основоположников итальянского романтизма. В «Полусерьёзном письме Златоуста своему сыну» (1816) Б. утверждает, что поэзия должна быть национальной, подражать природе и не зависеть от правил эстетики классицизма. Стихи Б. проникнуты мотивами национально-освободительной борьбы, в них звучат ненависть к австрийцам, презрение к предателям и боль за порабощенную отчизну (поэма «Беглецы из Парги», издано 1823, «Романсы», 1822-24). В поэме «Фантастические сны» (1829) бездействию современников противопоставлена славная борьба их предков. Эти лиро-эпические произведения приобретают иногда сентиментальную окраску. Более мужественно звучит ода «К оружию» (1831). Б. принадлежат также критические статьи и переводы.

  Соч.: Opere, v. 1-2, Ban, 1911-12.

  Лит.:Storia della letteratura italiana, v. 7, L'Ottocento, Mil., [1969].

  Н. Г. Елина.

Берында Памва

Беры'ндаПамва [50-70-е гг. 16 в. - 13(23).7.1632, Киев], украинский лексикограф, поэт, переводчик. Был активным членом Львовского братства (см. Братства ) ,вёл издательскую деятельность. С 1616 работал в типографии Киево-Печерской лавры. Автор словаря «Лексикон славеноросский» (1627), стихов панегирического и духовного содержания.

  Лит.:Украпнськi письменники. Бioбiблioграфiчний словник, т. 1, К., 1960.

Бесаев Тазрет Урусбиевич

Беса'евТазрет Урусбиевич [р.14(27).6.1910, селение Мастинок, Северная Осетия], осетинский советский писатель. В 1937 окончил институт философии, литературы и истории в Москве. Первый сборник стихов «Общественный певец» вышел в 1931. Повесть «Кто кого? или Последнее похождение муллы Магомета» (1933) рисует классовую борьбу в Северной Осетии, повесть «Долг» - борьбу советских людей против фашистских захватчиков. Автор романа «Надежда» (1949), пьесы «Песня об отважных» (1959), повести «Сердце тому свидетель» (1963).

  Соч.: Цардысуадон, Орджоникидзе, 1962; Джхизжрдж де'вдисжн, Орджоникидзе, 1963; Сагхъазжны, Орджоникидзе, 1966; Азтж, Орджоникидзе, 1968; в рус. пер.-Рассказы и легенды, М., 1959; Зауров родник, М., 1964.

  Лит:Калоев Г., Тазрет Бесаев, в кн.: Очерк истории осетинской советской литературы, Орджоникидзе, 1968.

«Беседа любителей русского слова»

«Бесе'да люби'телей ру'сского сло'ва»,литературное общество в Петербурге (1811-16), возглавлявшееся Г. Р. Державиным и А. С. Шишковым. Члены «Беседы» (С. А. Ширинский-Шихматов, А. С. Хвостов, А. А. Шаховской и др.) являлись эпигонами классицизма, нападали на реформу литературного языка, проводившуюся сторонниками Н. М. Карамзина. Возникшее в противовес «Беседе» литературное общество «Арзамас» выступало против её консервативных взглядов.

  Лит.:Тынянов Ю. Н., Архаисты и новаторы, Л., 1929; Лотман Ю. М., Проблема народности и пути развития литературы преддекабристского периода, в сборнике: О русском реализме XIX в. и вопросах народности литературы, М.- Л., 1960.

Беседковые птицы

Бесе'дковые пти'цы,шалашники (Ptilonorhynchidae), семейство птиц отряда воробьиных. Длина тела 23-35 см;оперение серое или бурое с жёлтым или оранжево-красным, реже зелёное или фиолетовое. 22 вида. Населяют Австралию, Новую Гвинею и прилежащие острова. Обитатели лесов и зарослей кустарников. Самцы строят из веток конусы (высотой до 2 м) вокруг небольших деревьев или шалаши, украшая их и площадку перед входом яркими или блестящими предметами - цветами, плодами, раковинами, жуками и т.п. У некоторых Б. п., например у фиолетового шалашника (Ptilonorhynchus violaceus), стенки шалаша окрашены мякотью плодов или размельченным углем, смешанным со слюной. Самец токует около беседки несколько недель и даже месяцев. Половое созревание самки и спаривание происходят в начале дождливого сезона, когда появляются насекомые - пища для птенцов. Гнёзда на деревьях или в кустарниках. В кладке 1-3 яйца.

  Лит.:Marshall A. J., Bower - birds. Their displays and breeding cycles, Oxf., 1954.

Фиолетовый шалашник.

Беседь

Бе'седь,река в БССР, Брянской и Смоленской области РСФСР, левый приток р. Сож (бассейн Днепра). Длина 261 км,площадь бассейна 5600 км ².Средний годовой расход воды в устье 27,8 м ³/сек. Судоходна от поселка Красная Гора (98 кмот устья).

Бесермяне

Бесермя'не,этнографическая группа удмуртов.Живут в Балезинском, Юкаменском и Глазовском районах Удмурдской АССР. Говорят на удмурдском языке с некоторыми особенностями. Вопрос о происхождении Б. остаётся спорным. Этнографические и исторические данные позволяют видеть в Б. потомков болгар волжско-камских.

  Лит:Белицер В. Н., К вопросу о происхождении бесермян (по материалам одежды), в кн.: Тр. института этнографии, т. 1. М., 1947; Народы Европейской части СССР, т. 2, М., 1964.

Бесики

Беси'ки(литературное имя; настоящие имя и фамилия Виссарион Габашвили) [1750, Тбилиси, - 24.1(4.2).1791, Яссы], грузинский поэт и политический деятель. Родился в семье царского духовника и писателя Захария Габашвили. Воспитывался при дворе царя Картли и Кахети Ираклия II. Был обер-секретарём у царя Имеретии Соломона I. В 1787 послан в Россию во главе дипломатической миссии. В качестве посланца находился при ставке фельдмаршала Г. А. Потемкина на Украине и в Молдавии. Б. получил известность как поэт-лирик, автор изящных любовных песен - «Стан красавицы», «Сад тоски», «Я понял твои обвинения», «Два дрозда» и др. Из его патриотических од и посланий выделяется ода «Аспиндза» в честь победы грузинских войск в 1770 у мыса Аспиндзи (Южная Грузия) над вторгшимися турецкими полчищами. Б. писал сатирические стихи и эпиграммы. Тонкий мастер стиха, новатор в области стихосложения, Б. оказал влияние на грузинскую поэзию 2-й половины 18 и начала 19 вв. Жизни и деятельности Б. посвящен роман «Бесики» (1942-47) А. Белиашвили.

  Лит:Барамидзе А., Радиан и Ш., Жгенти Б., История грузинской литературы, Тб., 1958; Антология грузинской поэзии, М., 1958.

Бескиды

Бески'ды,полоса северных хребтов Западных и частично Восточных Карпат в Чехословакии, Польше и СССР. Разделяются на Западные Бескиды и Восточные Бескиды .

Бескилевые птицы

Бескилевы'е пти'цы,бегающие птицы (Ratitae), надотряд птиц, неспособных к полёту. Характеризуются редукцией летательного аппарата: грудной киль отсутствует (ср. Килевые птицы ), грудные мышцы слабо развиты, перья крыльев короткие и мягкие. Перья, покрывающие тело, мягкие, распушенные, т.к. не имеют зацепок, скрепляющих бородки. Ноги очень сильные. Б. п. хорошо бегают. Большинство - обитатели открытых пространств. Зрение и слух острые. Выводковые птицы; живут обыкновенно парами; у некоторых насиживает яйца и выводит птенцов самец. Питаются растительной и животной пищей (мелкими позвоночными и беспозвоночными), птенцы - исключительно животной пищей. Одни виды живут в пустынях и степях, другие - в лесах. Четыре отряда: страусы, нанду, казуары(два семейства - настоящие казуары и эму ) и киви.

  Лит:Руководство по зоологии, сост. Г. П. Дементьев, т. 6, М.-Л., 1940, с. 627-33.

Бесконечная десятичная дробь

Бесконе'чная десяти'чная дробь,см. в ст. Десятичная дробь .

Бесконечная индукция

Бесконе'чная инду'кция,умозаключение, при котором из бесконечной совокупности посылок, исчерпывающих все частные случаи какого-либо общего суждения (высказывания), получается в качестве заключения (следствия) это общее суждение. Например, из посылок 0 + 0 = 0 + 0, 0 + 1 = 1 + 0, 0 + 2 = 2 + 0, 1 + 1 = 1 + 1, 0 + 3 = 3 + 0, 1 + 2 = 2 + 1, 0 + 4 = 4 + 0, 1 + 3 = 3 + 1, 2 + 2 = 2 + 2, 0 + 5 = 5 + 0, 1 + 4 = 4 + 1, 2 + 3 = 3 + 2,... (где многоточие означает предположение, что суммы натуральных чисел, стоящих по обе стороны знаков равенства, пробегают последовательно все натуральные числа) по Б. и. получается заключение а + b = b + a, справедливое для любых натуральных значений аи b.Поскольку фактически «перечислить» бесконечное множество посылок невозможно, в каждом таком «применении» Б. и. имеется элемент идеализации (проявляющийся в приведённом выше примере как раз в допущении о законности замены многоточия, являющегося обозримой конечной знаковой конструкцией, на чисто мысленный, абстрактный образ совокупности «всех натуральных чисел»), и любые обороты типа «и т.д.», заменяющие при этом какую-либо бесконечную совокупность (не обязательно состоящую из натуральных чисел), носят неэффективный и метафорический характер. В силу этой неэффективности Б. и. она не может непосредственно использоваться ни в дедуктивных теориях математики и логики, ни в полуэмпирических построениях естественных наук; в первых она часто заменяется различными формами принципа математической индукции,во вторых - т. н. естественнонаучной (неполной) индукцией. Однако как инструмент теоретического, методологического исследования Б. и. (обычно в форме т. н. правила Карнапа - по имени предложившего его в 1934 австрийского логика) нашла широкие и важные применения в математической логике. Если же совокупность посылок Б. и. задаётся некоторым алгоритмом,то её можно использовать в качестве специального правила вывода.

  Лит.см. при статьях Индукция, Математическая индукция.

  Ю. А. Гастев.

Бесконечно большая

Бесконе'чно больша'яв математике, переменная величина, которая в данном процессе изменения становится и остаётся по абсолютной величине больше любого наперёд заданного числа. Изучение Б. б. величин может быть сведено к изучению бесконечно малых,т.к. если уесть Б. б. величина, то обратная ей величина z = ¹/ _yявляется бесконечно малой. Тот факт, что переменная уявляется Б. б., записывают в виде lim y = Ґ. При этом символҐ («бесконечность») является просто условным обозначением того, что уесть Б. б. величина. Возможна и др. точка зрения, в силу которой Ґ является несобственным элементом, присоединяемым к множеству действительных чисел (см. Бесконечность в математике). Применительно к функции аргумента хразвёрнутое определение Б. б. звучит так: функция f (x), определённая в окрестности точки х ₀,называется Б. б. при х,стремящемся к х ₀,если для любого числа N> 0 найдётся такое число d>0, что для всех x ¹ x ₀и таких, что |х - х ₀|< d ,выполняется неравенство |f (x)| > N. Это свойство записывается в виде

  С. Б. Стечкин.

Бесконечно малая

Бесконе'чно ма'лаяв математике, переменная величина, стремящаяся к пределу,равному нулю. Для того чтобы понятие Б. м. имело точный смысл, необходимо указывать тот процесс изменения, при котором данная величина становится Б. м. Например, величина y= 1/ xявляется Б. м. при аргументе х,стремящемся к бесконечности, а при х,стремящемся к нулю, она оказывается бесконечно большой.Если предел переменной уконечен и равен а, то lim (y - a) = 0 и обратно. Поэтому понятие Б. м. величины можно положить в основу общего определения предела переменной величины. Теория Б. м. является одним из способов построения теории пределов.

  При рассмотрении нескольких переменных величин, участвующих в одном и том же процессе изменения, переменные уи z называются эквивалентными, если lim z/y= 1; если при этом уявляется Б. м., то уи zназываются эквивалентными Б. м. Переменная z называется Б. м. относительно у,если z/yесть Б. м. Последний факт часто записывается в виде z= о( у) (читается: «z есть омалое от у»). Если при этом уявляется Б. м., то говорят, что zесть Б. м. более высокого порядка, чем у.Часто среди нескольких Б. м., участвующих в одном и том же процессе изменения, одна из них, скажем у,принимается за главную, и с ней сравниваются все остальные. Тогда говорят, что z есть Б. м. порядка k> 0, если предел lim z/уксуществует и отличен от нуля; если же этот предел равен нулю, то zназывается Б. м. порядка выше k.Изучение порядков различного рода Б. м. - одна из важных задач математического анализа.

  Для случая, когда переменная величина есть функция аргумента х,из общего определения предела вытекает такое развёрнутое определение Б. м.: функция f( x) ,определённая в окрестности точки x ₀,называется Б. м. при х,стремящемся к x ₀ ,если для любого положительного числа e найдётся такое положительное число d, что для всех x¹ x ₀,удовлетворяющих условию |x - x ₀| < d, выполняется неравенство |f (x)| < e. Этот факт записывается в виде

При изучении функции f ( x) вблизи точки x _o за главную Б. м. принимают приращение независимого переменного D х= х- х ₀.Формула

  D y= f’( x ₀) D x+ о(Dх)

выражает, например, что приращение D yдифференцируемой функции с точностью до Б. м. порядка выше первого совпадает с её дифференциалом dy= f '( x ₀) D x.

 Метод Б. м., или (что то же) метод пределов, является в настоящее время основным методом обоснования математического анализа, почему его и называют также анализом Б. м. Он заменил исчерпывания метод древних и «неделимых» метод.Метод Б. м. был намечен И. Ньютоном (1666) и получил всеобщее признание после работ О. Коши.При помощи Б. м. даются определения таких основных понятий анализа, как сходящийся ряд, интеграл, производная, дифференциал. Кроме того, метод Б. м. служит одним из основных методов приложения математики к задачам естествознания. Это связано с тем, что большинство закономерностей механики и классической физики выражается в виде формул, связывающих Б. м. приращения изучаемых величин, и обращение к Б. м. является обычным приёмом составления дифференциальных уравнений задачи.

  Лит.см. при ст. Анализ математический .

  С. Б. Стечкин.

Бесконечно удалённые элементы

Бесконе'чно удалённые элеме'нтыв математике, элементы (называемые точками, прямыми, плоскостями), которыми пополняется евклидова плоскость или евклидово пространство для интерпретации некоторых разделов математики (проективная геометрия, теория функций комплексного переменного и др.).

  Происхождение термина «Б. у. э.» легче всего проследить на следующем примере. Рассмотрим в евклидовой плоскости a ее параллельные прямые а и а' ( рис ., 1) и прямую b, пересекающую их соответственно в точках Ми М'.Будем поворачивать прямую bвокруг точки М'в направлении, указанном на рис. стрелкой, до совпадения с прямой а '.Очевидно, по мере приближения прямой bк a'точка Мпересечения прямых aи bбудет удаляться в бесконечность. Этот процесс достаточно отчетливо поясняет часто употребляемое выражение: «параллельные прямые пересекаются в бесконечно удалённой точке».

  Указанные наглядные соображения лежат в основе интерпретации двумерной проективной геометрии на евклидовой плоскости a. Для этой цели плоскость a пополняется бесконечно удалёнными точками и одной бесконечно удалённой прямой следующим образом. Уславливаются рассматривать параллельные прямые как пересекающиеся в бесконечно удалённой точке. Тогда прямая а',параллельная прямой а( рис ., 2), пересекается с ней в некоторой точке, но только эта точка не является обыкновенной, а представляет собой новый объект - бесконечно удалённую точку прямой а.Уславливаются, что все прямые, параллельные прямой а,имеют одну общую бесконечно удалённую точку А,а бесконечно удалённые точки непараллельных прямых считаются различными. Т. о., евклидова плоскость пополняется бесконечным числом бесконечно удалённых точек. Совокупность всех этих бесконечно удалённых точек плоскости се называют бесконечно удалённой прямой.

  Плоскость a ,пополненная т. о. бесконечно удалёнными точками и бесконечно удалённой прямой, представляет собой т. н. проективную плоскость.Её свойства отличаются от свойств евклидовой плоскости (например, на проективной плоскости пересекаются любые две прямые).

  Евклидову плоскость можно пополнять Б. у. э. и др. способами. Так, при изображении комплексных чисел на евклидовой плоскости, последняя пополняется одной бесконечно удалённой точкой, которая отвечает одному бесконечно большому комплексному числу.

  Лит.:Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 4 изд., М., 1961.

  Э. Г. Позняк.

Бесконечно удалённые элементы.

Бесконечное произведение

Бесконе'чное произведе'ние,произведение бесконечного числа сомножителей u ₁, u ₂, ..., u _n,..., т. е. выражение вида

  Б. п., в котором сомножителями являются числа, иногда называемые бесконечным числовым произведением. Б. п. не всегда может быть приписано числовое значение. Если существует отличный от нуля предел последовательности частичных произведений

  pn = u ₁ u ₂... u _n

при n® Ґ, то Б. п. называется сходящимся, a lim pn = р -его значением, и пишут:

Исторически Б. п. впервые встретились в связи с задачей о вычислении числа p. Так, французский математик Ф. Виет (16 в.) получил формулу:

 а английский математик Дж. Валлис (17 в.) - формулу:

  Особое значение Б. п. приобрели после работ Л. Эйлера,применившего Б. п. для изображения функций. Примером может служить разложение синуса:

Разложения функций в Б. п. аналогичны разложениям многочленов на линейные множители; они замечательны тем, что выявляют все значения независимого переменного, при которых функция обращается в нуль.

  Для сходимости Б. п. необходимо и достаточно, чтобы u _n ¹ 0 для всех номеров n,чтобы u _N> 0, начиная с некоторого номера N,и чтобы сходился ряд

Т. о., исследование сходимости Б. п. эквивалентно исследованию сходимости этого ряда.

  Лит.:Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, М.- Л., 1966; Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, М., 1965.

Бесконечность в математике

Бесконе'чностьв математике. «Математическое бесконечное заимствовано из действительности, хотя и бессознательным образом, и поэтому оно может быть объяснено только из действительности, а не из самого себя, не из математической абстракции» (Энгельс Ф., Анти-Дюринг, 1966, с. 396). Материальная основа математического бесконечного может быть понята только при условии, что оно рассматривается в диалектическом единстве с конечным. Каждая математическая теория связана обязательным для неё требованием внутренней формальной непротиворечивости. Поэтому возникает вопрос о том, как соединить это требование с существенно противоречивым характером действительности: Б. «Уничтожение этого противоречия было бы концом бесконечности» (там же, с. 47). Ответ на этот вопрос заключается в следующем. Когда в теории пределов рассматриваются бесконечные пределы lim a _n= Ґ, или в теории множеств - бесконечные мощности, то это не приводит к внутренним формальным противоречиям в указанных теориях лишь потому, что эти различные специальные виды математических Б. являются лишь крайне упрощёнными, схематизированными образами различных сторон Б. действительного мира.

  Задачи настоящей статьи ограничиваются указанием на различные подходы к Б. в математике, освещаемые подробнее в других статьях.

  1) Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах является одним из основных в математическом анализе. Предшествовавшая современному подходу к понятию бесконечно малой концепция, по которой конечные величины составлялись из бесконечно большого числа бесконечно малых «неделимых» (см. «Неделимых» метод ) ,трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие любой конечной величины, может служить одним из примеров незаконного отрыва бесконечного от конечного: реальный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых.

  2) Совсем в другой логической обстановке Б. появляется в математике в виде «несобственных» бесконечно удалённых геометрических образов (см. Бесконечно удалённые элементы ) .Здесь, например, бесконечно удалённая точка на прямой арассматривается как особый постоянный объект, «присоединённый» к обычным конечным точкам. Однако неразрывная связь бесконечного с конечным обнаруживается и здесь, хотя бы при проектировании из центра, лежащего вне прямой, при котором бесконечно удалённой точке оказывается соответствующей прямая, проходящая через центр проектирования и параллельная основной прямой а.