Аналитические счета

Аналити'ческие счета',см. .

Аналитические формы

Аналити'ческие фо'рмыв языке, сложные, описательные словосочетания, состоящие из вспомогательного и полнозначного слова и функционирующие в качестве грамматической формы последнего («буду читать» - А. ф. будущего времени глагола «читать», «самый красивый» - А. ф. превосходной степени прилагательного «красивый»; англ. I have seen, франц. J'ai vu, нем. Ich habe gesehen - «видел»). А. ф. имеют то же лексическое значение, что и входящее в них полнозначное слово, либо отличаясь от него дополнительным смысловым оттенком, либо выражая определённые отношения между ним и др. членами предложения. Вспомогательное слово А. ф. не должно присоединять дополнительное лексическое значение к полнозначному слову (словосочетание «начну читать» не принадлежит к А. ф. глагола «читать», поскольку слово «начну» вносит дополнительное значение начала действия). Вспомогательное слово является постоянной, а полнозначное - переменной частью А. ф., что обеспечивает продуктивность А. ф.

  А. ф. часто функционируют параллельно с ,образуя эквивалентные грамматические формы («красивее» и «более красивый» - соответственно, синтетические и А. ф. сравнительной степени прилагательного «красивый»). А. ф. слов находятся в регулярном соответствии с другими грамматическими формами этих слов и заполняют определённый пробел в структуре языка.

  Иногда к А. ф. относят словосочетания, выражающие грамматические формы (А. ф. падежа: англ. to the father, франц. au pйre - «отцу»).

  Лит.:Смирницкий А. И., Аналитические формы, «Вопросы языкознания», 1956, N° 2: Гухман М. М., Глагольные аналитические конструкции как особый тип сочетаний частичного или полного слова, в кн.: Вопросы грамматического строя, М., 1955: Аналитические конструкции в языках различных типов, М., 1965.

Аналитические функции

Аналити'ческие фу'нкции,функции, которые могут быть представлены .Исключительная важность класса А. ф. определяется следующим. Во-первых, этот класс достаточно широк; он охватывает большинство функций, встречающихся в основных вопросах математики и её приложений к естествознанию и технике. Аналитическими являются -многочлены, рациональные функции, показательная и логарифмическая, степенная, тригонометрические и обратные тригонометрические, гиперболические и им обратные, алгебраические функции, и -эллиптические, цилиндрические и др. Во-вторых, класс А. ф. замкнут относительно основных операций арифметики, алгебры и анализа; применение арифметических действий к функциям этого класса, решение алгебраических уравнений с аналитическими коэффициентами, дифференцирование и интегрирование А. ф. приводят снова к А. ф. Наконец, А. ф. обладают важным свойством единственности; каждая А. ф. образует одно «органически связанное целое», представляет собой «единую» функцию во всей своей естественной области существования. Это свойство, которое в 18 в. считалось неотделимым от самого понятия ,приобрело принципиальное значение после установления в 1-й половине 19 в. общей точки зрения на функцию как на произвольное соответствие.

  Теория А. ф. создана в 19 в., в первую очередь благодаря работам О. ,Б. и К. .Решающую роль в построении этой теории сыграл «выход в комплексную область» - переход от действительного переменного хк комплексному переменному z= х + iy,которое может меняться в произвольной области комплексной плоскости. Теория А. ф. возникла как теория функций комплексного переменного; в некотором смысле именно аналитические (а не произвольные комплексные функции двух действительных переменных хи y) естественно считать функциями комплексного переменного z.Теория А. ф. составляет основное содержание общей теории функций комплексного переменного. Поэтому часто под теорией функций комплексного переменного понимают именно теорию А. ф.

  Существуют различные подходы к понятию аналитичности. В основе одного из них, впервые развитого Коши и далеко продвинутого Риманом, лежит структурное свойство функции - существование производной по комплексному переменному, или комплексная дифференцируемость. Этот подход тесно связан с геометрическими соображениям и. Другой подход, систематически развивавшийся Вейерштрассом, основывается на возможности представления функций степенными рядами; он связан, тем самым, с аналитическим аппаратом, которым может быть изображена функция. Основной факт теории А. ф. заключается в тождественности соответствующих классов функций, рассматриваемых в произвольной области комплексной плоскости.

  Приведём точные определения. Всюду в дальнейшем через z обозначается комплексное число х + iy, где xи y- действительные числа. Геометрически число zизображается точкой плоскости с координатами хи y;евклидова плоскость, точки которой отождествляются с комплексными числами, называется комплексной плоскостью. Пусть D -область (открытое связное множество) в комплексной плоскости. Если каждой точке zобласти Dприведено в соответствие некоторое комплексное число w,то говорят, что в области Dопределена (однозначная) функция f комплексного переменного z,и пишут: w = f( z) , z( D.Функция w = f( z) = f( x+ iy) комплексного переменного z( Dможет рассматриваться как комплексная функция двух действительных переменных хи y,определённая в области D.Полагая w = u + iv,где uи v- действительные числа, замечают, что задание такой функции fэквивалентно заданию двух действительных функций j и y двух действительных переменных хи y,определённых в той же области:

  u =j( x, y) , v =y( x, y) ,( x, y)О D.

 Пусть z -фиксированная точка области D. Придадим zпроизвольное приращение D z= D x+ iD y(так, чтобы точка z+D zоставалась в пределах области D) и рассмотрим соответствующее приращение функции f: D f( z) = f( z +( z) - f( z) .Если разностное отношение D f( z)/D zимеет предел при Dz®0, т. е. существует комплексное число Атакое, что для любого e > 0 будет пD f( z)/D z- Aп < e как только пDzп < d (d = d(e) > 0), то функция fназывается моногенной в точке z,а число А -её производной в этой точке: А = f'( z) = df( z)/ dz.Функция, моногенная в каждой точке области D,называется моногенной в области D.

 Если функция f моногенна в точке zО D,то f и соответствующие функции j и y имеют в этой точке частные производные по хи y;при этом ¶ f/¶ x =¶y/¶x + i(¶y/¶x), ¶ f/¶y = ¶j/¶y + i(¶y/¶y) .Производную f’( z) можно выразить через частные производные fпо хи по у(достаточно вычислить предел отношения D f( z)/D zдвумя разными способами - при D z= Dx ® 0 и при D z= iD y® 0; приравнивая соответствующие выражения, получаем ¶ f/¶ x= (1/ i)¶ f/¶ yили, что то же самое, ¶ f/¶ x+ i(¶ f/¶ y) = 0. Переходя к функциям j и y, это равенство можно переписать так: ¶j/¶ x= ¶y/¶ y, ¶j/¶ y= - ¶y/¶ x. Если функция fмоногенна в области D,то последние соотношения справедливы в каждой точке области D;они называются уравнениями Коши - Римана. Следует отметить, что эти уравнения встречались уже в 18 в. в связи с изучением функций комплексного переменного в трудах и Л. .

  Моногенность функции fэквивалентна её дифференцируемости в смысле комплексного анализа. При этом под дифференцируемостыо fв точке zО Dпонимается возможность представления её приращения в виде D f( z) = AD z+ a(D z)D z, где a(Dz) ® 0 при D z® 0; дифференциал df( z) функции fв точке z,равный главной части AD zеё приращения D f( z), в этом случае пропорционален dz =D zи имеет вид f’( z) dz.Полезно сравнить понятия дифференцируемости функции f- в смысле действительного анализа и в смысле комплексного анализа. В первом случае дифференциал dfимеет вид (¶ f/¶ x) dx+ (¶ f/¶ y) dy.Удобно переписать это выражение в комплексной форме. Для этого переходят от независимых переменных x, ук переменным z , ,которые формально можно считать новыми независимыми переменными, связанными со старыми соотношениями: z = х+ iy,  = x - iy(становясь на эту точку зрения, функцию fиногда записывают в виде f(z, ) .Выражая dxи dyчерез dzи d  по обычным правилам вычисления дифференциалов, получают df =(¶ f/¶ z) dz+ (¶ f/¶ ) d ,где ¶f/¶z =( ¹/ ₂) (¶f/¶x - i¶f/¶y) и ¶f/¶ = ( ¹/ ₂) (¶f/¶x + i¶f/¶y) (формальные) производные функции fпо zи  соответственно.

Отсюда уже нетрудно заключить, что дифференцируемость функции fв смысле комплексного анализа имеет место в том и только том случае, когда она дифференцируема в смысле действительного анализа и справедливо равенство ¶f/¶ = 0 ,являющееся краткой формой записи уравнений Коши - Римана; при этом

  ¶ f/¶ z= f’= df/ dz.

 Равенство ¶f/¶ = 0 показывает, что дифференцируемыми в смысле комплексного анализа являются те и только те функции f, которые, рассматриваемые формально как функции независимых переменных zи  «зависят только от z», являются «функциями комплексного переменного z».

  Интеграл от функции f =j + iy вдоль (ориентированной спрямляемой) кривой Г можно определить с помощью понятия криволинейного интеграла:

 Центральное место в теории моногенных функций (теории Коши) занимает следующая итегральная теорема Коши: если функция моногенна в односвязной области D,то S _Г f( z) dz= 0 для любой замкнутой кривой Г, лежащей в этой области. В произвольной области D то же утверждение справедливо для замкнутых кривых Г, которые непрерывной деформацией могут быть стянуты в точку (оставаясь в пределах области D) .Опираясь на интегральную теорему Коши, нетрудно доказать интегральную формулу Коши: если функция f моногенна в области Dи Г - простая замкнутая кривая, принадлежащая области Dвместе со своей внутренностью D _Гто для любой точки zО D _Г

(ориентация кривой Г предполагается положительной относительно области D _Г)

  Пусть функция f моногенна в области D.Фиксируем произвольную точку z ₀области Dи обозначим через g окружность с центром в точке z ₀и радиусом r > 0, принадлежащую, вместе со всем кругом: К: Iz - z ₀I < r, области D.Тогда

  Представим ядро Коши 1/( t -z) для tОg и zО Kв виде суммы бесконечной геометрической прогрессии:

  поэтому ряд сходится равномерно относительно tОg при любом фиксированном zО K,интегрируя этот ряд - после умножения на

  -почленно, получают разложение функции fв степенной ряд

  сходящийся в круге K: I z - z ₀I < r.

 Уточним теперь понятие аналитичности. Пусть f- функция, определённая в области D;она называется аналитической (или голоморфной) в точке z ₀области , если существует окрестность этой точки (круг с центром в z ₀), в которой функция f представляется степенным рядом:

f( z) = a ₀+ a ₁( z - z ₀) + a ₂( z- z ₀) ²+. . . . + a _n( z- z ₀) ⁿ+ . . .

  Если это свойство имеет место в каждой точке z ₀области D,то функция fназывается аналитической (голоморфной) в области D.

 Выше было показано, что функция f, моногенная в области D,аналитична в этой области. В отдельной точке это утверждение неверно; например, функция f( z) = кzк ²= z моногенна в точке z ₀= 0, но нигде не аналитична. С другой стороны, функция f, аналитическая в точке z ₀области D,моногенна в этой точке. Более того, сумма сходящегося степенного ряда имеет производные всех порядков (бесконечно дифференцируема) по комплексному переменному z; коэффициенты ряда могут быть выражены через производные функции fв точке z ₀по формулам: a _n= f ⁽ⁿ⁾( z ₀)/ n! .Степенной ряд, записанный в форме

  называется рядом Тейлора функции fв точке z ₀. Тем самым, аналитичность функции fв области Dозначает, что в каждой точке области Dфункция fбесконечно дифференцируема и её ряд Тейлора сходится к ней в некоторой окрестности этой точки.

  Следовательно, понятия моногенности и аналитичности функции в области тождественны и каждое из следующих свойств функции fв области D -моногенность, дифференцируемость в смысле комплексного анализа, дифференцируемость в смысле действительного анализа вместе с выполнением уравнений Коши - Римана - может служить определением аналитичности fв этой области.

  Важнейшее свойство А. ф. выражается следующей теоремой единственности: две функции, аналитические в области Dи совпадающие на каком-либо множестве, имеющем предельную точку в D,совпадают и во всей области D(тождественны). В частности, аналитическая в области функция, отличная от тождественного нуля, может иметь в области лишь изолированные нули.

  Если Е -произвольное множество (в комплексной плоскости и, в частности, на действительной прямой), то функция f (z), zО E,называется аналитической на множестве E,если каждая точка этого множества имеет окрестность, на пересечении которой с множеством Ефункция f представляется сходящимся степенным рядом; это означает в действительности, что fаналитична на некотором открытом множестве, содержащем Е(точнее, существует открытое множество, содержащее Е,и аналитическая на нём функция, fсовпадающая с fна множестве E) .Для открытых множеств понятие аналитичности совпадает с понятием дифференцируемости по множеству (моногенности). Однако в общем случае это не так; в частности, на действительной прямой существуют функции, не только имеющие производную, но и бесконечно дифференцируемые в каждой точке, которые не являются аналитическими ни в одной точке этой прямой. Например,

  С другой стороны, для справедливости теоремы единственности А. ф. существенно свойство связности множества E.Поэтому А. ф. рассматриваются обычно вобластях, т.е. на открытых и связных множествах.

  Важную роль в изучении А. ф. играют точки, в которых нарушается свойство аналитичности - т. н. А. ф. Рассмотрим здесь изолированные особые точки (однозначных) А. ф. Пусть f- А. ф. в области вида 0 < | z- z ₀| < r; в этой области fразлагается в ряд Лорана:

содержащий, вообще говоря, не только положительные, но и отрицательные степени z - z ₀.Если в этом разложении члены с отрицательными степенями отсутствуют ( a _n= 0 для n = -1, -2,...), то z ₀называется правильной точкой f. В правильной точке существует и конечен

полагая f( z ₀) = a ₀ ,получают функцию, аналитическую во всём круге пz - z ₀п < r .

 Если ряд Лорана функции fсодержит лишь конечное число членов с отрицательными степенями z- z ₀ :

  то точка z ₀называется полюсом функции f(порядка m); полюс z ₀характеризуется тем, что

  В случае, если ряд Лорана содержит бесконечное число отрицательных степеней z - z ₀, то z ₀называется существенно особой точкой; в таких точках не существует ни конечного, ни бесконечного предела функции f. Если z ₀- изолированная особая точка функции f, то коэффициент a _-1в её разложении в ряд Лорана называется функции fв точке z ₀.

 Функции, представимые в виде отношения двух функций, аналитических в области D,называется мероморфными в области D.Мероморфная в области функция аналитична в этой области за исключением, быть может, конечного или счётного множества полюсов; в полюсах значения мероморфной функции считаются равными бесконечности. Если допустить такие значения, то мероморфные в области Dфункции могут быть определены как функции, которые в окрестности каждой точки z ₀области Dпредставимы рядом по степеням z - z ₀,содержащим конечное (зависящее от z ₀) число членов с отрицательными степенями z - z ₀.