Трактовка отношений как внутренних, т.е. редуцируемых к свойствам, допускает двоякую интерпретацию: плюралистическую или монистическую. Первая наиболее адекватно демонстрируется философией Лейбница и основана на представлении о множественности субстанций. Предположим, что Сократ и Платон представляют собой различные субстанции, видимость связывает эти субстанции определенными отношениями: учитель и ученик. Однако с точки зрения на отношения как внутренние мы на самом деле имеем здесь дело с выражением двух свойств двух субстанций, а именно свойства
учитель Платона, присущего субстанции
Сократ, и свойства
ученик Сократа, присущего субстанции
Платон. Отношение
учительи обратное ему отношение
ученикредуцируются к свойствам субстанций. Точно так же можно проанализировать любое другое отношение, которое распадается на свойства. В общем виде любое высказывание о наличие отношения
Rмежду предметами
аи
bредуцируется к высказываниям о наличии у предмета
асвойства
Р, а у предмета
bсвойства
Q. Выражение вида ‘
aRb’ преобразуется в логическое умножение, имеющее вид ‘(
aесть
P) ( (
bесть
Q)’. Нетрудно видеть, что такой подход предполагает независимость субстанций друг от друга, так как они полностью определены совокупностью присущих им свойств и не вступают в отношения с другими субстанциями.
аи
bоказываются самодостаточными предметами, полностью описываемыми системой присущих им свойств, в том числе и сложных, структура которых инкорпорирует систему внутренних отношений. Следствие такого подхода находит выражение в известном утверждении Лейбница о самодостаточности монад, которые “не имеют окон”.
Подход философии монизма, который Рассел связывает прежде всего с современными ему неогегельянцами, и в частности, с Ф.Брэдли, основан на том, что все, что может определяться в качестве субъектов отношения (как
аили
b), есть не что иное, как проявление атрибута некоторой единой, самотождественной и нерасчленимой реальности, имеющей временные, пространственные и причинные определения в отношении познающего разума. С точки зрения монизма отношение должно усматриваться как свойство совокупности, в которой снято противопоставление
аи
b. Так, отношение
Rдолжно рассматриваться как свойство целостного сложного субъекта {
ab}. Наиболее адекватно этот подход иллюстрируется отношением тождества, которое при такой интерпретации превращается в свойство самотождественности субстанции. Монистическую философию не смущает, что при данном подходе возникают затруднения с интерпретацией большинства высказываний об отношениях, например, вряд ли с ходу можно усмотреть в высказывании “Сократ – учитель Платона” суждение о свойстве некоторого единства, образуемого
Сократоми
Платоном. Тем не менее нужно помнить, что неогегельянцы скорее предлагают подобный анализ как общий принцип, который нельзя вполне выразить в формально-логических структурах. Последнее считается ими достаточным основанием для того, чтобы критиковать формальную логику, отрицая за ней какое-либо познавательное значение, и предпочитать непосредственное усмотрение абсолюта. И все же подобная редукция отношений вполне укладывается в систему взглядов традиционной логики на субъектно-предикатную структуру суждений.
Как плюралистическую, так и монистическую редукцию отношений можно подвергнуть серьезной критике. Вернемся к плюралистической онтологии. Редукция отношения к свойствам
Ри
Qзаставляет нас поставить вопрос о том, на каком основании мы рассматриваем одно из них как конверсию другого? Если такого основания нет, тогда наш анализ исходного суждения повисает в воздухе, становится проблематичным. Если же такое основание есть, тогда возникает вопрос о соотношении этих свойств, что лишь возрождает проблему на новом уровне (т.е. проблематичным становится не ‘
aRb’, а ‘
PRQ’), но ни в коем случае ее не решает. Если вспомнить Лейбница, то данное затруднение репродуцируется у него как вопрос о предустановленной гармонии, что остается в области философских спекуляций и никоим образом не связано с собственно логическим анализом. На самом деле вопрос о предустановленной гармонии и есть вопрос об отношениях, но, правда, об отношении свойств отдельных субстанций. Таким образом, плюрализм, редуцирующий отношения к свойствам отдельных субстанций, проблему не решает, но возрождает ее как проблему второго уровня.
Аналогичные проблемы связаны и с философским монизмом. Если
аи
bобъединены единством абсолютной реальности, как считают неогегельянцы, то любое отношение, которое фиксирует их порядок (например, переход от
ак
b, но не от
bк
а, как в случае асимметричных отношений), нельзя объяснить как свойство целокупности. Возьмем, например, отношение любви между
Дездемонойи
Кассио. Очевидно, что здесь в рассмотрение должен вкрадываться порядок элементов целокупности, поскольку их перестановка по-разному отражалась бы на творчестве Шекспира. При асимметричности отношений свойство
Rбудет иметь различный смысл в случаях, когда мы берем целокупность {
ab} или целокупность {
ba}, что с точки зрения монизма было бы безразлично. Порядок, который в данном случае необходимо зафиксировать в рамках целостности, конечно же требует понятия об отношении, и любая попытка свести его к свойству должна терпеть неудачу.
Технический анализ отношений, предпринятый Расселом, как раз и показал несводимость отношений к свойствам. Оказалось, что если мы стремимся построить онтологию, отвечающую здравому смыслу, и при этом не допускать слишком уж сильных предположений, типа предустановленной гармонии, отдающей отношения в компетенцию божественного разума, то необходимо признать за отношениями реальность. Причем это реальность не психологическая в том смысле, что отношения не являются порождениями особенностей нашего мыслительного аппарата, связанного со спецификой психической организации, но именно та реальность, которая позволяет объяснить объективность формальных структур представления знаний. Здесь Рассел принимает допущение о существовании внешних отношений, которые представляют собой элементы действительности
sui generisили то, что впоследствии он будет рассматривать как примитивные значения, не сводимые к другим элементам. Отныне реальность отношений для Рассела будет представлять исходный пункт рассуждений. Включив отношения в список элементарных реалий, он в дальнейшем будет осуществлять последовательную попытку сведения к ним свойств, даже называя свойства одноместными отношениями.
Разумеется, в некоторых случаях, когда отношения рефлексивны, симметричны и транзитивны, то есть являются отношениями эквивалентности, допустимо редуцировать их к свойствам, и даже полезно, например при определении числа с точки зрения класса классов, находящихся во взаимнооднозначном соответствии. Но при более обширной выборке случаев это просто невозможно. Более того, допустима редукция любого свойства к отношению, но не наоборот.
Рассмотрим примеры. Возьмем отношение
соотечественник. Это отношение является отношением эквивалентности, так как обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Действительно, свойство рефлексивности очевидно, поскольку каждый человек сам себе соотечественник. Симметричность подтверждается тем, что если Сократ соотечественник Платона, то и Платон соотечественник Сократа. А о транзитивности данного отношения говорит то, что если Аристотель соотечественник Платона, то он является и соотечественником Сократа. Отношению
соотечественникв данном случае соответствует класс людей, обладающих общим свойством
быть греком. Кроме того, это отношение порождает совокупность непересекающихся классов, так называемых классов эквивалентности, обладающих общим свойством элементов, из которых они состоят, а именно,
быть немцем,
быть русскими т.д. (правда, при подходящем понимании свойства национальности). В общем случае можно сказать, что если отношение
Rобладает указанными признаками, то оно сводимо к некоторому свойству
P, отвечающему за соответствующий класс эквивалентности. Но при отношениях, обладающих другими свойствами, дело обстоит иначе.
Если взять асимметричное отношение, например
учитель, то здесь дело не сводится к наличию класса с общим свойством. Так, если
аучитель
b, то это говорит не только об отличии
аот
b, поскольку если бы это было так, то и
bхарактеризовалось бы лишь отличием от
а. Но так как отличие является отношением симметричным, то можно было бы образовать класс эквивалентности, обладающий общим свойством, который охватывал бы и
а, и
b. Порядок, в котором мы рассматриваем отношение
aк
b, этого не допускает. Значит, асимметричное отношение, если позволительно так сказать, говорит как о некотором сходстве, так и о некотором отличии, и не сводимо к свойству, а представляет собой нечто такое, что должно рассматриваться как своеобразная сущность. Свойства же, в свою очередь, можно очень просто свести к отношениям, причем никаких проблем не возникает. Возьмем некоторое свойство, к примеру свойство быть красным. Это свойство задает класс красных предметов. Из элементов этого класса всегда можно выделить образец, скажем предмет
а, и рассматривать все остальные предметы данного класса как находящиеся к выделенному предмету в отношении цветоподобия. Отношение же цветоподобия обладает всеми свойствами, необходимыми для того, чтобы задать классы эквивалентности, а значит, оно вполне может заменить свойство. Отсюда следует очень важный для Рассела вывод: если отношения и не сводимы к свойствам, то свойства вполне сводимы к отношениям
.
Традиционная логика, очевидно, не приспособлена для выражения отношений; подходящий аппарат Рассел находит как раз в функциональной логике Г.Фреге, которая позволяет не только адекватно описать требуемые структуры, но и учесть все многообразие вытекающих отсюда следствий, например наличие отношений между большим количеством предметов, чем два.
2.2.2 Логика и ‘чувство реальности’
Установив зависимость онтологических представлений от логической структуры, Рассел показал, что избранный способ формализации затрагивает не только структуру мысли, но и нечто говорит о мире. Оказалось, что способы построения онтологий, базировавшиеся на том, как традиционная логика представляла структуру суждения, не являются единственными, а представляют собой лишь один из возможных вариантов. Плюралистическая онтология, основанная на внешних отношениях, построенная Расселом в соответствии с функциональной точкой зрения на высказывания, является, по-видимому, одним из самых интересных его достижений, как логических, так и философских. Ему удалось показать, что онтологию можно рассматривать как следствие определенной формально-логической доктрины. Выявление структуры мысли задает структуру мыслимого, и в этом отношении формальная логика приобретает трансцендентальное содержание. Однако в рамках самой логики все это остается на уровне бессодержательных моделей, которые, как таковые, имеют дело с любой возможностью. «В логике было бы пустой тратой времени рассматривать выводы относительно частных случаев; мы имеем дело всегда с совершенно общими и чисто формальными импликациями, оставляя другим наукам исследование того, в каких случаях предложения подтверждаются, а в каких нет»
. Устанавливая границы логики как науки о возможном, Рассел тем не менее корректирует само понятие возможности. На всем протяжении развития его характеризует то, что сам он называет ‘чувством реальности’. Здесь показательным выглядит его следующее заявление, может быть полемически и заостренное, но весьма характерное: «Логика должна допускать единорогов не в большей степени, чем зоология, потому что логика имеет дело с реальным миром в той же степени, что и зоология, хотя с его наиболее абстрактными и общими чертами: повинуясь чувству реальности, мы будем настаивать на том, что в анализе суждений нельзя допускать ничего ‘нереального’»
. Стало быть, формальная логика для Рассела хотя и является наукой о возможном, все равно имеет единственную реализацию, и эта реализация есть наш действительный мир.
Из такого понимания логики вытекают как минимум два важных следствия, придающих специфическую окраску взглядам Рассела на содержание и границы формального анализа.
1. С одной стороны, имея в перспективе действительный мир, Рассел к числу логических принципов относит такие утверждения, которые выглядят несколько сомнительными, поскольку не имеют аналитического характера. Последнее придает развиваемой им логике ‘реистическую окраску’.
2. С другой стороны, так как Рассел наполняет логику онтологическим содержанием, он стремится представить процесс познания таким образом, чтобы тот соответствовал логическим структурам, выведенным с помощью чисто формального исследования.
Эти две разнонаправленные, но связанные между собой тенденции пронизывают все творчество раннего Рассела, и именно те положения, которые относятся к их реализации, подверглись наиболее острой критике Витгенштейна и потребовали существенных изменений. Рассмотрим их несколько подробнее. Начнем с того, каким образом логика у Рассела приобретает реистический характер.
2.2.3 Теория типов
Уже говорилось, что Рассел принимает функциональную трактовку высказываний, предложенную Фреге. Однако его не все в ней удовлетворяет. В частности, Рассел не принимает фрегеанскую трактовку функции как неопределяемого понятия. Напомним, что с точки зрения Фреге, выделение в высказывании функции и аргумента зависит от контекста и то, что рассматривалось в качестве функции, может становиться аргументом, и наоборот. Отталкиваясь от такого понимания, Б.Рассел сформулировал свой знаменитый парадокс. Если функция и аргумент находятся на одном и том же уровне, то, сконструировав высказывание, в котором одно и то же выражение может рассматриваться одновременно как функция и как аргумент этой функции, можно прийти к противоречию. В письме к Фреге Рассел следующим образом высказывает свои сомнения: «Вы утверждаете, что функция может быть неопределяемым элементом. Я тоже так считал, но теперь этот взгляд кажется мне сомнительным из-за следующего противоречия: Пусть
wбудет предикатом ‘быть предикатом, не приложимым к самому себе’. Приложим ли
wк самому себе? Из любого ответа вытекает противоречие. Стало быть, мы должны заключить, что
wне является предикатом. Также не существует класса (как целого) тех классов, которые, как целое, являются членами самих себя. Отсюда я заключаю, что при определенных обстоятельствах определяемое множество не образует целого»
.
Проясним данный парадокс на примере. Согласно каждой высказывательной функции можно образовать класс предметов. Например, функции ‘чайная ложка (
х)’ соответствует класс индивидов, удовлетворяющих данную функцию (т.е. при заполнении аргументного места, делающих соответствующее высказывание истинным) и являющихся чайными ложками. Принцип интуитивной абстракции позволяет образовывать классы с любым набором индивидов. Причем при неограниченном применении этого принципа в качестве индивидов могут выступать и сами классы (т.е. они сами могут рассматриваться как заполняющие аргументные места соответствующих функций). Например, функции ‘класс предметов (
х)’ будет соответствовать класс всех классов любых предметов. При таком подходе некоторые классы могут содержать только индивиды, а некоторые – и индивиды, и классы, рассматриваемые в качестве индивидов. Среди последних особый интерес представляют классы, содержащие себя в качестве собственных элементов. Например, класс чайных ложек сам чайной ложкой не является, он состоит только из индивидов, а класс всех предметов, не являющихся чайными ложками, сам не будет являться чайной ложкой и, следовательно, будет являться членом самого себя. Образование классов последнего типа зависит от возможности образования таких функций, которые могут быть собственными аргументами. Рассмотрим еще один пример. Возьмем класс последнего типа, а именно класс всех тех классов, которые не являются элементами самих себя (в функциональном выражении ‘класс, не являющийся элементом самого себя (
х)’). Если мы зададимся теперь вопросом о том, можно ли рассматривать сам этот класс как удовлетворяющий соответствующую себе функцию, получится противоречие. В самом деле, если он ее удовлетворяет, то он не должен содержаться в себе самом, а если он ее не удовлетворяет, то он должен содержаться в себе самом.
Противоречие демонстрирует неприемлемость такого понимания функции и аргумента, которое имеет место у Фреге, но это еще не означает, что неверна функциональная трактовка логической структуры высказывания. Для решения парадокса Рассел разрабатывает так называемую теорию типов, которая по существу сводится к ограничениям, накладываемым на образование классов, а стало быть, и соответствующих высказывательных (пропозициональных) функций. Так, например, он пишет: «Общность классов в мире не может быть классом в том же самом смысле, в котором последние являются классами. Так мы должны различать иерархию классов. Мы будем начинать с классов, которые всецело составлены из индивидов, это будет первым типом классов. Затем мы перейдем к классам, членами которых являются классы первого типа: это будет второй тип. Затем мы перейдем к классам, членами которых являются классы второго типа; это будет третий тип и т.д. Для класса одного типа никогда невозможно быть или не быть идентичным с классом другого типа»
. На образование классов необходимо накладывать ограничения, запретив образовывать классы, которые могли бы выступать в качестве своих собственных элементов. Классы должны образовывать строгую иерархию, где первый уровень представляли бы собой классы, содержащие только индивиды, второй уровень – классы, содержащие классы индивидов, третий уровень – классы, содержащие классы классов индивидов, и т.д. Разные уровни требуют различных средств выражения; то, что можно сказать об индивидах, нельзя сказать об их классах, а то, что можно сказать о классах индивидов, нельзя сказать о классах классов индивидов и т.д. В общем, это и составляет сущность теории типов.
В применении к высказывательным функциям это означает, что ни одна функция не может быть применена к самой себе; то, что рассматривается в качестве аргумента, никогда не должно становиться функцией, и наоборот, на одном и том же уровне. Последнее требование закрепляется Расселом в теории удовлетворительного символизма. Зафиксировать тип – значит зафиксировать соответствующий тип символа, указывающий на соответствующее значение. С точки зрения Рассела, к парадоксам приводит смешение различных типов, которого необходимо избегать. При таком подходе, очевидно, отпадает надобность в оценке контекста целостного высказывания. Значение символа должно заранее определяться словарем, который сконструирован иерархическим образом согласно типам, а правила образования выражений накладывают ограничения на использование словаря.
Теория типов становится для Рассела универсальным методом решения парадоксов, не только обнаруженных им самим, но и известных с давних времен. Возьмем, например, парадокс лжеца. Если некто высказывает утверждение “Я сейчас лгу”, то с традиционной точки зрения, при попытке определить истинностное значение этого утверждения мы всегда придем к противоречию. Действительно, поскольку он лжет, то ложным должно быть и высказанное им утверждение; но, учитывая его содержание, мы тогда должны сказать, что оно истинно. Если же его утверждение истинно, то, согласно утверждаемому содержанию, оно говорит о своей собственной ложности и, стало быть, является ложным. В любом случае возникает противоречие. Но, используя теорию типов, Рассел решает этот парадокс, разводя по разным уровням высказывания, о которых говорит это утверждение, и само это утверждение
. С точки зрения теории типов, человек, утверждающий, что он лжет, имеет в виду ложность по крайней мере одного высказывания из класса высказываний, охватываемых его утверждением. Но само его утверждение не должно включаться в этот класс, поскольку оно относится к более высокому типу. Поэтому истинностная оценка должна релятивизироваться относительно типа высказанных утверждений. Любое утверждение о высказываниях
n–го типа само будет относиться к
n+1 типу и не должно включаться в класс оцениваемых высказываний.
Символическая система Фреге не удовлетворяет требованиям теории типов, поэтому в ней и можно сформулировать парадоксальные утверждения.
2.2.4 Коррекция определения числа и аксиома бесконечности
Формулировка парадокса затрагивает не только противоречивость рассуждения, но и другой важный аспект логицистской программы Г.Фреге, который связан с определением арифметических понятий в логических терминах. Определение числа по Фреге, как оно было сформулировано выше, требует рассматривать классы, состоящие из элементов, принадлежащих к различным типам. Например, уже определение числа два предполагает класс, образованный из нуль-класса и класса, элементом которого является сам нуль-класс. Однако именно это и содержит парадокс, который обнаружил Рассел. Рассел сохраняет логицистскую установку на то, что арифметика сводима к логике, но в свете установленного противоречия определение числа должно быть модифицировано таким образом, чтобы исключить смешение типов.
Рассел выходит из затруднения следующим образом
. Он сохраняет общий фрегеанский подход к числу с точки зрения классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии. Сохраняет он и определение нуля как класса неравных самим себе объектов. Модификация определения начинается с числа один. Число один соответствует классу всех классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии с классом, содержащим один объект. Число два соответствует классу всех классов, находящихся во взаимно-однозначном соответствии с классом, который состоит из объекта, использованного при определении числа один, плюс новый объект и т.д. Определение, построенное таким способом, избегает парадокса, поскольку соблюдает требование теории типов. Объекты, используемые при определении чисел, принадлежат одному и тому же типу. Однако оно требует введения дополнительного постулата. Определение каждого последующего числа в последовательности натуральных чисел требует нового объекта. Но поскольку натуральный ряд бесконечен, постольку должно предусматриваться и бесконечное количество объектов. Так в логической системе Рассела возникает аксиома бесконечности, а именно допущение о том, что любому заданному числу
nсоответствует некоторый класс объектов, имеющий
nчленов
.
2.2.5 Логические фикции и аксиома сводимости
В
Principia Mathematica, труде, в котором Рассел совместно с Уайтхедом попытались последовательно развить предпосылки логицизма, теория типов, аксиома бесконечности и рассматриваемая ниже аксиома сводимости включаются в число логических предложений. Однако здесь возникает проблема, связанная со статусом данных положений. Характеристика различных уровней бытия, предложенная теорией типов, или аксиома бесконечности, характеризующая совокупность предметов в мире, выходит за рамки аналитического знания. Разрабатывая теорию типов, Рассел говорит о недопустимости определенной комбинации символов в языке логики. Однако то, что он имеет в виду, выходит за рамки символической комбинаторики, поскольку сами по себе символы основания для такого запрета не дают. Ограничения возможны только тогда, когда в расчет принимается определенная интенция значения. Стало быть, теория типов основана на онтологической предпосылке о допустимых видах значений и существенно от нее зависит.
Формулируя теорию типов, Рассел говорит о классах, но это не означает, что он допускает их реальное существование, поскольку это возрождало бы иерархическую структуру бытия в смысле Платона, и даже превосходило бы предложенное последним удвоение реальности, так как предполагало бы ее умножение
ad infinitumсоответственно умножению различных типов знаков. Кроме того, с реальностью классов связан ряд следствий, принять которые Расселу мешает установка на здравый смысл. Согласно способу построения классов из любой совокупности
nпредметов можно образовать 2
nклассов. Например, взяв совокупность из трех предметов
a,
b,
c, можно образовать восемь классов. Это следующие классы: нулевой класс, классы {
a}, {
b} и {
c}; затем, {
bc}, {
ca}, {
ab}, {
abc}. Рассмотрим теперь совокупность всех вещей, существующих в мире. Очевидно, что число классов, образованных из этих вещей, будет больше числа их самих, поскольку 2
nвсегда больше, чем
n. Теперь, если мы принимаем реальность классов, получается парадоксальный вывод. Оказывается, что число всех действительно существующих вещей меньше, чем их имеется на самом деле. Рассел не принимает этого парадоксального вывода, выходя из положения тем, что дифференцирует понятие существования соответственно типам значений. Говорить о существовании индивидов – это совершенно иное, чем говорить о существовании составленных из них классов. Последнее есть лишь
fa?on de parler, от которого при желании всегда можно избавиться. Здесь возникает концепция неполных символов, рассматривающая классы как логические фикции. Надлежащая трактовка классов должна исключить их из перечня самостоятельных сущностей, а то, что мы рассматриваем как обозначение классов, должно быть сведено к обозначению сущностей, не вызывающих сомнений в своем существовании.
Осуществляя подобную редукцию, Рассел отталкивается от того, что класс может быть однозначно задан как система значений некоторой высказывательной функции, а стало быть, все, что можно сказать о классах, с успехом переводимо на язык функций: «Вы хотите сказать о пропозициональной функции, что она иногда является истинной. Это то же самое, как если о классе говорят, что он имеет члены. Вы хотите сказать, что это истинно в точности для 100 значений переменных. Последнее одинаково с тем, когда о классе говорят, что он имеет сто членов. Все то, что вы хотите сказать о классах, одинаково с тем, что вы хотите сказать о пропозициональных функциях, исключая случайные и неуместные лингвистические формы»
. Так утверждение, что класс спутников Марса включает два элемента, заменимо на утверждение о том, что пропозициональная функция ‘спутник Марса (
х)’ истинна ровно при двух значениях переменной.
При замене классов на функции возникают некоторые проблемы, краткую экспозицию которых мы сейчас представим. Один и тот же класс можно задать с помощью различных функций. Например, класс людей будет задавать и функция “бесперое, двуногое (
х)” и “политическое животное (
х)”. Такие функции (т.е. функции, которые удовлетворяет одинаковый набор аргументов), Рассел называет формально эквивалентными. А раз эти функции специфицируют один и тот же класс предметов, то в некоторых контекстах их можно заменить друг на друга, причем истинность целого не изменится, как, например, в “Сократ является бесперым и двуногим”. Такие контексты Рассел называет экстенсиональными. Эти контексты не допускают двусмысленностей; входящие в них функции вполне можно рассматривать вместо классов. Причем все, что можно сказать о какой-либо функции, будет приложимо и к функции, формально ей эквивалентной. Значит, любое высказывание о классе можно заменить высказыванием об одной из формально эквивалентных функций, однозначно этот класс специфицирующей. Однако здесь возникает проблема. Дело в том, что не всегда то, что можно сказать об одной формально эквивалентной функции, будет приложимо к другой. Примером такого неэкстенсионального контекста может служить высказывание “Платон утверждал, что бесперость и двуногость однозначно определяют человека”. В него входит функция ‘двуногое и бесперое (
х)’, но попытка заменить ее на функцию ‘политическое животное (
х)’ сделает высказывание ложным. Следовательно, не все, что можно сказать об одной функции, приложимо к другой. Однако Рассел считает, что можно сконструировать такую формально эквивалентную функцию, которая удовлетворяла бы требуемому свойству. Другими словами, и для ‘бесперое, двуногое (
х)’ и для ‘политическое животное (
х)’, существует формально эквивалентная функция, которая однозначно определяет класс людей и при этом является экстенсиональной. В общем случае, если имеется высказывание, изменяющее свое истинностное значение при замене одной формально эквивалентной функции на другую, всегда можно сконструировать функцию формально, эквивалентную исходным функциям, которая будет экстенсиональной. С ее помощью и можно любое высказывание о классе преобразовать в высказывание о функции.
Единственное ограничение, накладываемое Расселом на образование такой функции, связано с требованием теории типов. Она должна указывать предикативное свойство соответствующего класса. Различие между предикативными и непредикативными свойствами можно проиллюстрировать следующим примером. Рассмотрим свойство
быть человекоми свойство
иметь все свойства человека. И то и другое относятся к одному и тому же классу предметов, но в отличие от первого, второе свойство имеет в виду и само себя. Так как если мы утверждаем, что Сократ имеет все свойства человека, то наряду с приписыванием ему свойств
быть двуногим и бесперым,
быть политическим животными т.д. мы приписываем ему и свойство
иметь все свойства человека. Непредикативное свойство самореферентно, т.е. указывает и на само себя. Соответственно, функция, выражающая самореферентное свойство, будет применяться сама к себе, что, как было показано выше, приводит к парадоксу. С точки зрения Рассела, функции, выражающие непредикатитвные свойства, должны относиться к более высокому типу, чем функции, выражающие предикативные свойства, несмотря на то, что они специфицируют один тот же класс. Таким образом, функции, как и классы, должны рассматриваться в строгой иерархии, которая конструируется Расселом в разветвленной теории типов.
