Это был школьный утренник, очень похожий на те, к которым мы привыкли у себя дома. Добрую половину зрителей составляли взволнованные мамы, тёти и бабушки маленьких артистов. Они оживлённо переговаривались и с нетерпением поглядывали на большое ледяное поле, где только что установили декорации, изображающие дремучий лес.
      Режиссёр — тоненькая, гибкая Семёрка — грациозно пересекла ледяную сцену и подкатила к нам, приветливо улыбаясь.
      — Спасибо, что пришли. Это ведь я просила моего друга Четвёрку привести вас сюда.
      Нас усадили в первом ряду, как почётных гостей.
      И сразу над ледяным полем вспыхнул ослепительно яркий свет.
      Дирижёр взмахнул палочкой, и под звуки весёлой музыки на сцену выбежали два малыша. Они развернули длинное полотнище, и все прочитали название балета:

ВОЛШЕБНЫЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ И ВЕСЁЛЫЕ ПЕРЕСТАНОВКИ!

      Малыши убежали, а вместо них появились другие, в разноцветных хитончиках, во главе с добрым Вычислителем-Строителем
      Он красноречиво (хотя и без слов) рассказал, какие великие дела предстоит им совершить на благо людей. Цифры не менее красноречиво (тоже без слов) выразили полную готовность следовать за добрым Вычислителем-Строителем.
      Вдруг в оркестре загремели барабаны, и на сцене появился злой Вычислитель-Разрушитель.
      Завидев его, цифры бросились кто куда. Они боялись, что он возьмёт их в плен и заставит работать на себя. А этот злодей занимался очень плохими делами. Он ненавидел людей и хотел их уничтожить.
      Добрый Вычислитель-Строитель стал на защиту испуганных малышей.
      Тогда Вычислитель-Разрушитель, увидев, что одному ему не справиться, кликнул на помощь своё войско. И вот появились воины в белых мундирах с чёрными крестами на груди. Они схватили доброго Вычислителя-Строителя, крепко-накрепко связали и стали с силой вклиниваться между насмерть перепуганными цифрами, а те всё время увёртывались от них. Так продолжалось довольно долго.
      По правде говоря, мои ребята ничего не понимали.
      — Скажите, пожалуйста, — шёпотом обратился Сева к Четвёрке, — почему эти цифры так боятся воинов с плюсами на груди?
      — Да потому, что сейчас они ещё свободные цифры. А когда плюсы начнут их складывать, они превратятся в числа. И тогда уж волей-неволей им придётся работать на злого Вычислителя-Разрушителя.
      — А я думал, — возразил Сева, — что цифры и числа — это одно и то же!
      — О нет! Разница между цифрами и числами такая же, как между буквами и словами. Слова составляются из букв, а числа — из цифр. Цифр и букв немного, а слов и чисел множество. С числами можно производить различные действия, а с цифрами нельзя. Когда цифра становится числом, этому числу можно дать любое наименование. Числа можно назвать птицами, книгами, яблоками, а можно — ружьями и пушками. Этого и добивается злой Вычислитель-Разрушитель. Вот почему цифры так его боятся.
      Между тем с помощью своих воинов, Плюсов, и их командира Знака Равенства злой Вычислитель-Разрушитель заставил наконец цифры расположиться следующим образом:

1 + 3 + 4 + 2 = 10

      Бедные цифры, превратившись в числа, сразу замерли. Они были очень грустные. В зале плакали. А Вычислитель-Разрушитель торжествовал. Он хорошо знал, что числа никогда не посмеют нарушить равенство, не посмеют убежать от него. Ведь десять всегда должно быть равно десяти!
      Теперь числа в его власти!
      И вдруг (какая же сказка без волшебного «вдруг»!)… вдруг маленький Нулик из числа 10, точная копия нашего знакомого, быстро встал по другую сторону Единицы. И вместо десятки получилось какое-то ни то ни сё — 01!
      В зале ахнули. Это было неслыханное геройство. Знак Равенства тут же упал в обморок — он не вынес подобного нарушения. А Вычислитель-Разрушитель так перепугался, что побежал звонить в пожарную команду, потому что пожарных в Карликании тоже вызывают по телефону 01. Совсем как у нас.
      Зрители громко зааплодировали, а цифры быстро развязали своего доброго предводителя и на радостях затеяли весёлую игру, в которой приняли участие недавние их враги — Плюсы и Знак Равенства. Им тоже надоело служить злому волшебнику. С этих пор они будут делать только добро.
      Сначала под звуки плавного вальса числа образовали знакомую уже нам группу:

      1 + 3 + 4 + 2 = 10

      Потом началось феерическое зрелище. Освещённые то жёлтыми, то красными, то синими прожекторами, юные фигуристы стали меняться местами, образуя всё новые и новые группы:

      3 + 1 + 2 + 4 = 10
      2 + 3 + 4 + 1 = 10
      4 + 1 + 3 + 2 = 10
      1 + 4 + 2 + 3 = 10

      и так далее.
      И только десятка, стоявшая после Знака Равенства, всё время оставалась на месте. А числа в танце низко кланялись Нулику, и он стоял довольный, но скромный, как и подобает герою.
      Так продолжалось до тех пор, пока конькобежцы не вернулись к исходному положению.
      — Сколько же раз они менялись местами? — спросил Сева. — Я считал и запутался.
      — Ровно двадцать четыре раза, — ответила Четвёрка.
      — Неужели так много?
      — Если вы сомневаетесь, проверьте сами, — усмехнулась она.
      Тут первое отделение подошло к концу. Артисты выстроились полукругом и, взявшись за руки, запели:
 
Всё хорошо, что хорошо кончается!
Но в пьесе вывод полагается:
От перемены мест слагаемых
Сумма не ме-ня-е-тся!
 

      В антракте мы пошли за кулисы, чтобы поблагодарить Семёрку и всех артистов за интересный спектакль.
      Это оказалось труднее, чем мы думали. За кулисами была ужасная толчея, такая же, как у нас после концерта школьной самодеятельности. Маленьких артистов душили в объятиях счастливые родственники и восторженно пророчили им великое будущее. Родственники всегда немного преувеличивают!
      Нам всё-таки удалось добраться до Семёрки. Мы выразили ей свой восторг. Она была счастлива и попросила нас обязательно посмотреть второе отделение.
      — Мы покажем вам воздушное умножение. Это самый лучший номер нашей программы!
      — А Нулик тоже в нём участвует? — спросила Таня, которой очень понравилась игра маленького артиста.
      — Да, конечно. Но в этот раз он играет вспомогательную роль.
      — Почему? — огорчилась Таня.
      — Нельзя же всегда играть главные, — ответила Семёрка. — Наши артисты должны исполнять всякие роли. Скажу по секрету: Нулик очень на нас за это обиделся. Мама внушила ему, что он талант.
      В это время раздался громкий визг. Дверь костюмерной распахнулась. Кто-то вихрем промчался мимо нас и исчез в толпе.
      Начался страшный переполох. Цифры бросились врассыпную. Совсем как в балете при появлении злого Вычислителя-Разрушителя.
      Все беспорядочно кричали:
      — Спасите! Отнимите у него! Он нас уничтожит!…
      — Так я и знала! Противный мальчишка! Он стащил знак умножения. — И Семёрка храбро бросилась в самую гущу толпы.
      — Кто стащил знак умножения? — спросили мы у Четвёрки.
      — Как — кто? Нулик! — пискнула она, робко прячась за наши спины. — Тот самый, которого вы так расхваливали.
      — А зачем ему знак умножения?
      — Он мстит за то, что ему не дали главной роли.
      — Подумаешь, страшная месть, — рассмеялся Сева, — стащил знак умножения.
      — Не говорите так! — с ужасом воскликнула Четвёрка. — Разве вы не знаете, какую беду может натворить Нулик со знаком умножения? Стоит ему встать рядом с любым числом — и оно немедленно обращается в ничто. Какой-нибудь час — и все жители Арабеллы обратятся в нули. Представляете себе государство, состоящее из одних нулей?!
      Мимо нас пробежал отряд пожарников. (Как известно, пожарники есть в каждом театре.) У них были очки с сильными увеличительными стёклами (для поисков самых маленьких чисел). В руках они держали длинные, тонкие прутья. Как выяснилось, специально для ловли нулей.
      Тем временем Нулик выскочил на ледяное поле. Тогда пожарники и кучка отчаянных смельчаков во главе с нашей славной Семёркой окружили поле плотным кольцом и стали осторожно приближаться к виновнику переполоха.
      На Нулика нацелился лес длинных палок.
      Но он как ни в чём не бывало выделывал ногами вензеля и показывал преследователям язык.
      Казалось, ещё минута — и его схватят. Но не тут-то было!
      Озорник ловко подпрыгнул и вскарабкался на самую макушку декоративного дерева.
      — Сейчас же бросай знак умножения! — потребовала Семёрка.
      — А вот и не брошу! — захихикал Нулик, весело болтая ножками.
      — Тогда будешь сидеть здесь до скончания века!
      — А я возьму и перепрыгну через ваши головы. Прямо в публику! — И Нулик сделал вид, что собирается выполнить угрозу.
      В толпе началась настоящая паника. Зрители в ужасе побежали к выходам. В дверях образовались пробки. И тогда Семёрка бросилась к телефону.
      — Скорую арифметическую помощь!… — закричала она в трубку. — Это Скорая?… Ужасное несчастье!… Да, да, опять Нулик! Пришлите немедленно великанов!
      — Что за великаны такие? — спросил Сева у Четвёрки.
      — Это жители Бесконечности — бесконечно большие числа! — ответила она.
      — А им не страшен Нулик со знаком умножения?
      — Конечно, нет! Ведь им сделали противонуликовую прививку! Поэтому при умножении на нуль они сами в нуль не превращаются. Разве только иногда. Для разнообразия. Когда самим захочется. И тогда они превращаются в любое число по своему выбору.
      Скорая помощь не заставила себя ждать. Не прошло и минуты, как над ледяным полем поднялся сильный ветер и откуда-то сверху долетело:
      — Привет из Бесконечности!
      К Нулику протянулась гигантская ладонь, и тот покорно положил на неё похищенный знак умножения. Он знал, что с Великаном шутки плохи.
      Два огромных пальца приподняли Нулика и осторожно поставили на лёд.
      — Ура Великану!… — закричали все. — Да здравствуют добрые великаны!…
      Великан приветливо помахал рукой и исчез так же внезапно, как появился.
      Нулик сидел на льду и жалобно всхлипывал.
      — Ну, — спросила Семерка, — как ты объяснишь свое поведение?
      — Простите меня. Я не хотел ничего плохого, — взмолился Нулик. — Я думал только немножко всех попугать. Пожалуйста, не выгоняйте меня из драмкружка!
      — Ну, это мы еще посмотрим! — грозно сказала Семерка и… упала в обморок. Теперь, когда все волнения были позади, силы покинули ее.
      Пришлось объявить, что по техническим причинам спектакль продолжаться не может.
      Так состоялось наше первое знакомство с Великаном из далекой Бесконечности.

      Мы с трудом уговорили Четвёрку с бантиком пойти домой. Ей надо было отдохнуть после стольких волнений. Назначив нам час и место встречи, она убежала, а мы отправились бродить по городу.
      Вскоре мы вышли на широкую, светлую улицу, где стояли красивые дома из пластиката, стекла и алюминия. Разноцветные световые рекламы делали их особенно нарядными.
      Улица называлась «Автоматическая». Мы подошли к большому зданию.
      — «Выдача и прием призраков от трёх до четырёх часов», — прочитал Сева.
      — Ну как ты читаешь?! — возмутилась Таня. — Не призраков, а признаков!
      — Слава богу! А я уж испугался, — обрадовался Сева. — Признаки — это совсем другое дело.
      — Ах, другое? — не унималась Таня, — Не объяснишь ли ты, что это за «другое»?
      — Пожалуйста, — небрежно ответил Сева. — Вот, например, ехидство — признак дурного характера!
      — А болтливость — признак глупости! — не осталась в долгу Таня.
      — Чем попусту пререкаться, лучше зайдем и узнаем, о каких признаках речь, — сказал Олег.
      Возразить против этого было нечего: он, как всегда, оказался прав.
      Мы очутились в светлом зале. Сначала нам показалось, что там никого нет. Вдруг Сева дёрнул Таню за руку и указал глазами на маленькую Пятерку, стоявшую у стены.
      Тихим, неуверенным голоском Пятёрка что-то говорила. Но кому? Ведь рядом совершенно никого не было!
      И вдруг раздался голос невидимого собеседника. Это было как гром с ясного неба. Мы невольно посмотрели на стеклянный потолок.
      Голос на миг умолк и сейчас же загремел снова, очевидно обращаясь к нам:
      — Здравствуйте, люди! Мы вам рады! Меня зовут Автомат. Я обучаю эту достойную карликаншу делению целых чисел. Она собирается стать учительницей.
      И тут мы увидели, что Пятерка стоит у огромной машины, занимающей целую стену. Посредине светился серебристый экран, окружённый разноцветными лампочками, которые то вспыхивали, то гасли. Внутри что-то постукивало, потрескивало. Иногда раздавался тоненький мелодичный звонок.
      — Вы разрешите мне продолжить занятия? — любезно осведомился Автомат.
      — Пожалуйста, — ответил Сева. — Мы тоже с удовольствием поучимся делению.
      — Как, вы ещё не умеете делить? Хр-пр-тр! Извините, это моя самая маленькая шестерёнка повернулась не в ту сторону. Вы её расстроили.
      — Нет, вы меня не поняли, вообще-то мы делить умеем.
      — Ах, умеете? Ну, тогда совсем другое дело. Не хотите ли решить примерчик? Я как раз собирался предложить его моей юной ученице.
      На экране засветились числа:

135 227 : 9 = ?

      — Позвольте мне, — сказала Пятёрка. — Начнём по правилам: сначала делим тринадцать на девять…
      — Хр-пр-тр! Чтобы ответить на мой вопрос, вовсе не нужно делить. Я собирался вас спросить: делится ли это число на девять? Да или нет?
      — Как, вы хотите, чтобы мы сказали это сразу, не разделив числа? — изумился Сева.
      — Вот именно!
      — Но это совершенно невозможно! — воскликнула Таня.
      — Отчего же? — с достоинством ответил Автомат. — Для этого стоит только взглянуть, какая лампочка загорелась над экраном. Посмотрите-ка.
      — Красная! — крикнула Пятёрка.
      — Ну вот, всё ясно. Раз загорелась красная, значит, это число на девять не делится. А теперь взгляните ещё раз на экран.
      Там уже стояло совсем другое число:

264 852 : 9 = ?

      — А теперь зажглась зелёная лампочка, — сообщила Пятёрка.
      — Так и должно быть, потому что это число делится на девять.
      — Это же очень просто, — сказала Пятёрка, — красная лампочка — число не делится на девять, зелёная — делится на девять.
      — Ха-ха-ха! — засмеялся Автомат. — Это просто потому, что лампочки зажигаю я. А попробуйте-ка зажечь сами нужную лампочку. Ха-ха-ха!
      Маленькая Пятёрка покраснела до ушей.
      — Ну, не огорчайтесь, я пошутил, — утешил её Автомат. — Дело в том, что у чисел есть признаки, по которым можно с первого взгляда определить, желают ли они делиться на некоторые числа или не желают. К сожалению, я располагаю очень небольшим набором таких признаков. Поэтому, если кто-нибудь из вас найдёт новый, неизвестный нам признак делимости, немедленно сообщите мне. Это будет замечательно! Вы даже не можете себе представить, какую большую пользу принесёте людям. Мне известны признаки делимости чисел на 2, на 3, на 4, на 5, на 6… Даже на 10 и на 11. Ещё несколько признаков — и это всё!
      — Расскажите о каком-нибудь признаке, — попросила Пятёрка. — Это очень интересно.
      — В таком случае вернёмся к тем двум числам, которые я только что показывал на экране. Напомню их.
      На экране появились числа: 135 227 и 264 852.
      Как видите, каждое число состоит из шести цифр. Будем эти цифры принимать за числа. И поставим между ними знаки плюс.
      На экране под первым числом появилась сумма:

1 + 3 + 5 + 2 + 2 + 7 = 20.

      — А теперь скажите: делится ли число двадцать на девять? Нет, не делится. Значит, и все число тоже не делится на девять. Попробуем проделать то же самое со вторыми числом.
      На экране снова засветилась сумма:

2 + 6 + 4 + 8 + 5 + 2 = 27.

      — Видите, получилось двадцать семь. А это число как раз делится на девять. Значит, и всё число тоже делится на девять. Вот каков признак делимости на девять. Его очень легко изложить так: число делится на девять, если сумма его цифр делится на девять.
      — В таком случае, — сказал Олег, — я знаю и признак делимости на три. Ведь девять — это трижды три! Значит, если сумма цифр числа делится на три, то и само число тоже делится на три.
      — Совершенно верно! Вы будете великим математиком! — торжественно изрёк Автомат.
      — Я тоже знаю один признак: если сумма цифр числа делится на пять, то и число делится на пять, — сказал Сева. Ему тоже хотелось стать великим математиком.
      — Ни в коем случае, ни в коем случае! — воскликнул Автомат, возмущённо замигав всеми своими лампочками. — Тр-пр-хр! Разве можно мерить всех одной меркой? Ведь число двадцать три не делится на пять, хотя сумма его цифр равна пяти. Признак делимости на пять очень прост: на пять делятся только те числа, которые оканчиваются пятёркой или нулём. Например, 75, 210, 625, 4 168 596 895 и так далее.
      — Как просто! — засмеялась Таня.
      — Есть признаки и посложнее. Например, признак делимости на одиннадцать.
      — Ах, пожалуйста, расскажите об этом признаке! — попросила Пятёрка.
      — Хорошо. Слушайте меня внимательно. Возьмём число

175 362 121 693.

      — У-у-у! — протянули ребята. — Это число и прочитать трудно.
      — Хр-пр-тр! Сто семьдесят пять миллиардов триста шестьдесят два миллиона сто двадцать одна тысяча шестьсот девяносто три! — единым духом выпалил Автомат. — Ничего особенного. Посмотрим, делится ли оно на одиннадцать. Расположим цифры этого числа таким образом:
      — Видите, я каждую вторую цифру опустил чуть пониже. А теперь поставим в каждом ряду между цифрами знаки плюс. Получаем:

1 + 5 + 6 + 1 + 1 + 9 = 23,

7 + 3 + 2 + 2 + 6 + 3 = 23.

      В обоих рядах сумма цифр одинакова. А это и значит, что число непременно разделится на одиннадцать.
      — Неужели? — усомнился Сева.
      — Проверьте, — предложил Автомат.
      — Это было бы слишком долго, — ответил Сева.
      Тогда Олег показал нам страничку из блокнота, на которой он уже произвёл деление.
      — Совершенно правильно! — сказал Автомат. — Вы действительно будете хорошим математиком.
      А на экране вспыхнули числа:

175 362 121 693 : 11 = 15 942 011 063.

      — Вот вам и ответ: пятнадцать миллиардов девятьсот сорок два миллиона одиннадцать тысяч шестьдесят три.
      — Значит, на одиннадцать делятся только такие числа, у которых сумма цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме цифр, стоящих на чётных? — спросил Олег.
      — Нет, не только эти числа делятся на одиннадцать. Есть более общий признак делимости. Вот, например…
      В это время раздался продолжительный звонок, возвестивший конец рабочего дня. Автомат едва успел с нами попрощаться, как все его лампочки погасли. Жаль!
      Мы вышли на улицу. Теперь надо было поспеть на площадь Радостей и Огорчений, где нам назначила свидание Четвёрка с бантиком.
      На этой площади ежедневно приземлялись воздушные корабли, возвращающиеся от людей в Карликанию.

      Мы пришли вовремя. Первая ракета только что приземлилась. Спустили трап, и тысячи путешественников очутились в объятиях своих родных и друзей.
      Рядом с нами какая-то счастливая мама-Пятёрка обнимала свою младшую дочку.
      — Мне было так без тебя скучно! — жаловалась она.
      — А мне было так весело! — щебетала дочка. — Нас послали к одному архитектору — ему поручили строить дома в новом городе. Он долго думал: поскольку этажей должно быть у этих домов? То возьмёт Четвёрку, то Девятку. А потом посмотрел на меня и сказал: «Дома будут пятиэтажные!»
      — Ах, ты моя красавица! — умилилась мать, но тут же ахнула: — Где это ты так перепачкалась? Хороша красавица!
      — Это один неловкий чертёжник пролил на меня пузырёк с тушью. Я уж оттирала-оттирала резинкой, не сходит.
      Мимо важно прошли трое карликан, громко распевая:
      — Ту-ту-ту… ту-ту-ту! Это были цифры 1, 0, 4.
      — Отчего они так важничают? — спросил Сева.
      — Разве вы не узнали этих трёх героев? — откликнулась шагавшая за ними карликанша. — Их портреты вывесили сегодня на реактивном самолёте. Среди них и мой сын. Этот самолёт называется «Ту-104». Теперь они только и знают, что поют: «Ту-ту-ту… ту-ту-ту!»
      — А я была в цирке, — рассказывала своей маме крохотная Двойка. — Я видела, как дядя в рыжем парике делал двойное сальто. Можно, я тоже попробую сделать дома двойное сальто? Ведь я Двойка — у меня должно выйти.
      — Я вот нашлёпаю тебя, — ответила мама, — и думать перестанешь о своём сальто! Ты что, хочешь голову сломать?
      Снова загудели моторы, и на площадь опустился многоместный самолёт. Из него стали выходить пассажиры. Они прижимали к глазам маленькие белые платочки.
      Сразу же все на площади перестали смеяться и сделались грустными. Площадь Радостей превратилась в площадь Огорчений.
      — Какое несчастье! Какое горе! — причитала какая-то Девятка, спускаясь по трапу. — Пропал, пропал бедный маленький Нулик. Утром на площади Добрых Напутствий с нами было сорок три нулика. Потом нас отправили в школу, в третий класс. Там было так хорошо, так весело! Школьники учились делить целые числа. Мы перебегали с парты на парту, из тетради в тетрадь. А потом, когда мы сели в самолёт, чтобы возвращаться домой, у нас оказалось только сорок два нулика! Один пропал. Какое горе!
      — Это мой сыночек пропал! — заголосила знакомая толстая Восьмёрка. Она уже успела пересмотреть всех прибывших нуликов. — Почему я не поехала с ним? Что я буду без него делать?
      — Может быть, он ещё вернётся? Может быть, он сел по ошибке в другой самолёт? — утешали бедную маму.
      — А может быть, — сказала наша Четвёрка с бантиком, — он и не уезжал отсюда? Он у вас такой баловник! Утром при посадке спрятался, а потом убежал в кино.
      — Нет, скорее всего, — предположила какая-то Единица, — на футбольный матч.
      — А может быть, он в цирке делает двойное сальто? — сказала крошка Двойка.
      — Бедный мой сыночек! Где ты сейчас? — не унималась мама-Восьмёрка.
      — Успокойтесь, — сказала Четвёрка, — найдётся ваш Нулик. Утро вечера мудренее. Если он не появится сегодня, завтра перевернём всё Арифметическое государство и найдём его обязательно.
      В это время объявили о прибытии самолёта с малышами. Четвёрка озабоченно пересчитала своих питомцев и облегчённо вздохнула. Они оказались целы и невредимы.
      Все вместе мы возвращались обратно. По дороге малыши наперебой рассказывали о своих приключениях.
      Мы дошли до Числовой площади, где пожелали друг другу спокойной ночи и расстались.
      Так закончился наш первый день в Карликании.

Простота…