Тут оратор предупредил, что не станет давать никаких доказательств, а просто покажет, как находить нужную точку. А всякие Фомы неверующие (здесь Олег искоса взглянул на Нулика) могут проверить это по любой книжке, где говорится о проблеме Штейнера. Вот хотя бы по книжке Куранта и Роббинса «Что такое математика».
— Так вот, — продолжал Олег, — если любой из углов треугольника меньше 120 градусов, то искомая точка находится внутри треугольника.
— Как её искать? — спросил Нулик.
— Надо найти такую точку, чтобы из неё все три стороны треугольника были видны под одним и тем же углом в 120 градусов.
— Чепуха! — фыркнул президент. — Как это стороны могут быть видны под углом?
— Очень просто, — возразил Олег, не обратив никакого внимания на убийственную иронию Нулика. — Если из точки провести две прямые к концам какого-нибудь отрезка, то угол между этими прямыми и называется углом, под которым виден этот отрезок. Итак, если один из углов треугольника равен 120 градусам, то искомая точка будет как раз вершиной этого угла. Вот почему Единичка сказала, что предложение Магистра неверно. Она соединила на карте точки, где находятся дома А, Б и В, и увидела, что в полученном треугольнике каждый из углов меньше 120 градусов.
— Понятно, — кивнул Сева. — Но если мальчиков будет не три, а четыре или ещё больше? Где надо будет установить станцию тогда?
— Вопрос интересный, — сказал Олег, — он имеет большое экономическое значение. Ведь и телефонные провода, и трубы, и дороги надо проводить так, чтобы на них ушло как можно меньше материала и труда.
— Олег — экономист! — сострил президент.
Олег поклонился:
— Ничего не имею против такого звания. — Но проблемой Штейнера занимаются всё-таки не экономисты, а математики, — сказал я. — Есть в математике такой раздел — вариационное исчисление. Очень трудный, между прочим, раздел. Вариационное исчисление исследует многочисленные варианты решений и находит при этом самый выгодный. Ясно?
— Ясно-то ясно, — озабоченно отозвался президент, — но ни о каком исследовании вариантов не может быть и речи. На это уйдёт слишком много времени, а между тем Пончик и Кузя…
— Ладно, — сжалилась Таня, — так и быть, поторопимся. Сева, ты, кажется, хотел разобраться в вопросе о возведении в четвёртую степень?
— Сейчас, сейчас, — начал Сева нарочито медленно (он не мог отказать себе в удовольствии поддразнить президента). — Леди и джентльмены! Как вы помните, благородный рыцарь ордена Рассеянных магистров пытался в уме возвести в четвёртую степень некое покрытое тайной число. И хотя число было основательно засекречено, проницательная Единичка немедленно обнаружила, что ответ у Магистра неверен. Вы спросите, как она догадалась? Охотно открою её секрет. Магистр получил в ответ число… неважно теперь какое, важно то, что оно оканчивалось двойкой. Но ни одна четвёртая степень числа на двойку оканчиваться не может! Так же, впрочем, как и на тройку, и на семёрку, и на восьмёрку, и на девятку. Четвёртая степень любого числа оканчивается либо на 1, либо на 6, а ещё — на 5 и на 0. При этом прошу вас отметить, что подобным капризным образом ведут себя не только четвёртые степени, но и все степени, кратные четырём, — восьмая, двенадцатая, шестнадцатая и так далее!
— Вот здорово! — воодушевился Нулик, сразу позабыв о Пончике и Кузе. — И другие степени тоже ведут себя по-особому?
— Без всякого сомнения, — величественно ответствовал Сева. — Степени своенравны, но любят порядок и никогда от него не отступают. Вот, например, все пятые степени оканчиваются той же цифрой, что и их основание. Например, 2 в пятой степени равно 32; 4 в пятой степени — 1024 и так далее. Тому же правилу подчиняются девятая, тринадцатая, семнадцатая и многие другие степени. Арифметика педантична. Не то что Магистр. Вот почему он так часто ошибается. Я кончил!
— Уже? — искренне огорчился президент. — Жаль, так было интересно.
— А Пончик? — спросил Сева. — Уж не хочешь ли ты сказать, как древний философ: «Пончик мне друг, но математика дороже»?
Вспомнив о Пончике, Нулик снова заторопился. К счастью, у нас оставался всего один неразобранный вопрос, однако желающих высказаться почему-то не находилось. А в таких случаях — вы уже знаете — очередь за мной.
— Не стану злоупотреблять вашим драгоценным временем, — сказал я, невольно подражая высокопарному стилю Севы, — но всё же для ясности должен остановиться на вопросе о «Стальных мускулах» несколько подробней. Как вы помните, друг наш был удивлён, не увидев в «Стальных мускулах» ни боксёров, ни борцов, ни штангистов. Пропускаю мимо ушей замечание Магистра о водном хоккее, — на то он и Магистр Рассеянных Наук! Разберёмся-ка лучше в том, что это за «Стальные мускулы», кто такой заведующий-упругист и, наконец, права ли была Единичка, когда решила повесить на маленький гвоздик огромную гирю. Как я понимаю, Магистр с Единичкой попали в лабораторию сопротивления материалов.
— Чего-чего? — переспросил президент.
— Есть такая наука — сопротивление материалов, — объяснил я.
— А чем она занимается?
Я вынул из кармана карандаш и сделал вид, что собираюсь его переломить.
— Видите, карандаш не хочет ломаться, он сопротивляется моим усилиям. Значит, и в нём тоже заключена какая-то сила, иначе он не смог бы мне сопротивляться. Однако (тут я сломал карандаш) у меня силёнок всё-таки побольше, чем у деревянного карандашика. Но вот если бы этот карандашик был сделан не из дерева, а из стали, тут уж не хватило бы сил у меня. Значит, каждый материал сопротивляется по-своему, у каждого свои силы сопротивления. Вот наука сопротивления материалов и изучает эти внутренние, скрытые в материале силы. Не зная их, не построить ни путной машины, ни здания, ни моста. Они будут разрушаться тогда, когда этого никто не ожидает.
— А не проще ли просто сделать карандаш потолще, вот он и не сломается! — предложил президент.
— Можно и так, — согласился я, — но сколько же на это уйдёт лишнего материала? Да и удобно ли будет писать таким толстым, тяжёлым карандашом? Об этом ты подумал? Допустим, ты укрепил в машине болты потолще — вот такие огромные! Для этого тебе придётся и отверстие для болтов увеличить. А это значит, что придётся увеличить размеры станины, а то она будет состоять из одних дырок. Увеличишь станину — надо увеличить и фундамент под ней. От этого установка станет тяжелее. Придётся укреплять стены, а затем и фундамент под зданием. Дедка за репку, бабка за дедку… Словом, начали с болта, а кончили полной реконструкцией завода. Нет, брат Нулик, размеры просто так увеличивать негоже. Это, как ты видел, неэкономично.
— Ну, если опять в ход пошла экономика, сделаем болты поменьше, — беспринципно согласился Нулик.
— Но ты забыл, что при этом болты перестанут быть прочными. Вот мы и встали перед задачей — какой размер выбрать? Малый — плохо и большой — тоже плохо. Надо найти такой самый выгодный и единственно возможный размер, чтобы были и овцы целы и волки сыты. Вот выбором таких наивыгоднейших размеров и наилучших материалов и занимается наука о сопротивлении материалов. Понимаешь теперь, что означает название «Стальные мускулы»?
— Что да, то да. Неясно только, почему заведующего называют упругистом?
— Ну, это уж пустяки. Дело в том, что науку о сопротивлении материалов называют также теорией упругости. А теория упругости основана на том допущении, что все тела обладают идеально упругими свойствами. Согни стальную линейку, а затем снова отпусти конец. Линейка немедленно вернётся в прежнее положение. Значит, линейка упруга. А теперь изогни кусок теста.
— Тесто нипочём не выпрямится, — деловито сказал президент.
— Правильно. Тесто не упруго. Так вот, сопротивление материалов занимается только упругими телами, а к ним относятся сталь, дерево, некоторые пластики. К упругим телам близки также чугун, алюминий и некоторые другие материалы, главным образом строительные. Кстати, само слово «упругость» было введено в науку великим русским учёным Ломоносовым. Ну, это я так, между прочим. А сейчас перейдём к гвоздям. К тем самым, на которые упругист и Магистр вешали гири. Итак, если на гвоздь, вбитый в стену, повесить гирю, гвоздь, само собой разумеется, начнёт изгибаться. Чем тяжелее гиря, тем больше будет прогибаться гвоздь. Если же вес слишком велик, гвоздь сломается. Так вот, наука о сопротивлении материалов точно выяснила, на, какой вес рассчитаны гвозди разных диаметров и разных материалов. Конечно, в этом ей помогла математика — без математики сопротивление материалов как без рук! Оказалось, что прочность гвоздя возрастает вместе с его диаметром, только не прямо пропорционально, а гораздо быстрее — в третьей степени. Если диаметр увеличить в два раза, прочность гвоздя возрастёт в 8 раз (2^3=8). Увеличим диаметр в 3 раза, прочность увеличится в 27 раз (3^3=27). Этот закон подметил ещё великий Галилей, которого наравне с английским учёным Робертом Гуком следует считать зачинателем теории упругости, а значит, и науки о сопротивлении материалов. Надеюсь, всё ясно? Вопросов нет?
— Вопросов нет, — отозвался президент. — Но… есть уточнение. Выходит, Единичка собиралась повесить на гвоздь гирьку в 8 килограммов?
— Верно. Раз первый гвоздь выдерживал 2 килограмма, стало быть, второй, вдвое толще, обязан выдержать 8, то есть два в третьей степени.
— Но только в том случае, если оба гвоздя из одного и того же материала, — снова уточнил президент.
— Ещё раз молодец!
Нулик засиял как медный грош и продолжал разглагольствовать. Впрочем, лучше бы ему остановиться.
— Насколько я помню, гвоздь был сделан не то из хромистой, не то из фтористой стали. Не так ли? — сказал он с победоносным видом.
— Дорогой президент, не повторяйте ошибок Магистра, — сказал я. — Фтористой стали не бывает. Фтор в обычных условиях — газ, и никто ещё не додумался использовать его при варке стали. Вот хром, никель, ванадий, вольфрам — дело другое.
Но Нулика не так-то легко переспорить!
— Наука идёт вперёд! — возразил он. — Кто знает, может быть, через год-другой появится не только хромированная, но и фторированная сталь…
— Смотрите! — закричал Сева, взглянув в окно. — Пончик бежит! А за ним — Кузя!
Нечего и говорить, что после этого прения закончились сами собой.
ПУТЕВЫЕ ЗАМЕТКИ РАССЕЯННОГО МАГИСТРА
Ужин в кратере вулкана
Вы спросите, какой способ передвижения самый приятный? Ракета? Подводная лодка? Такси? Нет, нет и нет! Самый приятный вид транспорта — воздушный шар! Да, да!
Сегодня мы с Единичкой летели в открытой кабине воздушного шара, и я на ходу (вернее, на лету) записывал и зарисовывал в блокноте все, что мог.
К сожалению, мы летели в сплошных облаках, поэтому видно ничего не было. Неожиданно я выронил карандаш, и он камнем полетел вниз. А наш воздушный шар облегчённо взмыл вверх. И сразу стало очень холодно и даже трудно дышать.
К счастью, я захватил с собой акваланги. Мы с Единичкой быстро надели их и спокойно продолжали полет.
Шар поднимался все выше, облака уже остались далеко внизу, и над нами засияло звёздное небо.
Я достал свою складную подзорную трубу, но стал растягивать её так поспешно, что нечаянно проткнул оболочку шара, наполненную лёгким газом. Не пугайтесь, ничего страшного не произошло!
Оказывается, я так удачно проткнул шар (в самой нижней точке), что он, выпустив газ, тут же превратился в гигантский парашют. Мы с Единичкой плавно опустились на землю, не получив даже царапины. Нам, однако, очень трудно было выбраться из корзины: она закуталась в гигантскую оболочку шара, обмоталась стропилами, и мы целый час выбирались из нашего плена. А выбравшись, увидели, что приземлились на вершине какой-то горы у самого края глубочайшей ямы.
Я сразу же понял, что то был кратер ещё не погашенного вулкана. Из самой середины его высоко в небо поднималась струя не то пара, не то дыма. А внизу, на дне кратера, полыхал огонь.
Что было делать? Другой на моём месте растерялся бы. Другой, но не я. Усадив Единичку на склон вулкана, я уселся рядом, намереваясь скатиться вниз, подальше от беды. Но Единичка потянула носом и сказала:
— Как вкусно пахнет! По-моему, чем-то жареным…
Клянусь треугольником Паскаля, она была права! Мне сразу же отчаянно захотелось есть.
Я заглянул в кратер. На самом дне его пылал костёр. Сидевшие вокруг огня люди жарили мясо на вертелах. Конечно же, это были вулканологи. Увидев нас, они отчаянно замахали руками, приглашая разделить с ними ужин. Сами понимаете, что мы не заставили себя упрашивать. Уплетая за обе щеки, я спросил у гостеприимных хозяев, давно ли они сюда спустились.
— Давно! — отвечали они смеясь. — Завтра утром будет ровно миллион… секунд.
Вот чудаки! Считают время не на дни, а на секунды! А что такое секунда? Пролетела — и нет её. Подумаешь, миллион секунд! Я тоже, шутки ради, решил переключиться на новый счёт времени. И когда меня спросили о возрасте, я ответил, что живу на свете ровно миллиард минут. Как быстро летит время! Выходит, что каких-нибудь три четверти миллиарда минут назад я был совсем ещё крошкой. Однако Единичка — надо было ей вмешаться! — сказала, что для миллиарда минут я выгляжу слишком молодо.
Вскоре мы выбрались из гостеприимного вулкана и, осмотревшись, решили идти прямо навстречу солнцу, на восток. Единичка, конечно, стала говорить, что мы идём на запад, но переубедить меня ей не удалось.
Стемнело. Мы хотели отдохнуть, — как бы не так: нам помешали дети. Надо сказать, дети мне вообще-то никогда не мешают, но на этот раз я был возмущён их несправедливостью.
Ребят было четверо: трое мальчиков и одна девочка. Они что-то весело напевали и делили между собой яблоки. Яблок было очень много. Мальчики отдали небольшую часть девочке, а остальное…
— Остальное мы разделим поровну на троих, — сказал один парнишка.
— Как не стыдно обижать девочку! — вмешался я. — Почему вы дали ей так мало яблок, а себе оставили целую гору? Сейчас же удвойте её порцию! Слышите? Удвойте сейчас же!
Мальчики переглянулись.
— Уважаемый Магистр, — отвечали они (узнали-таки меня!), — если мы удвоим порцию этой девочки, на нас троих останется только половина всех яблок. Какая же это справедливость?
Не в силах сдержать возмущение, я увёл Единичку от этих противных маленьких скупердяев, но она (нет, вы только подумайте!) — она помахала им на прощание ручкой да ещё сказала: «Мальчики, вы все очень симпатичные!» Не понимаю, как могут нравиться такие жадины?
Как вы уже знаете, разволновавшись, я начинаю возводить целые числа в какие-нибудь степени. Это меня успокаивает. Вот и тут я стал возводить во вторую степень числа, оканчивающиеся пятёркой. Ну, скажем, 35, 55 или 85… Но едва я успевал вслух назвать число, как Единичка молниеносно выпаливала ответ. Так и .не удалось мне успокоиться.
Но какая всё-таки сообразительная девочка! Она мгновенно возводила в квадрат Любое число, оканчивающееся на 5. И если бы только двузначные числа, это ещё куда ни шло! Но она так же мгновенно возводила в квадрат и трехзначные числа. А это не фунт изюма! Попробуйте-ка быстро в уме возвести в квадрат трехзначное число, оканчивающееся пятёркой! Сами увидите, как это трудно.
Незаметно подошли мы с Единичкой к какому-то неизвестному городу. На городских воротах красовалась надпись: «КАНАЛ». Я сразу догадался, что либо для нас опустят подъёмный мост, как в древних рыцарских замках, либо нам придётся пуститься вплавь через этот КАНАЛ. Однако ни моста, ни воды поблизости не было.
Мы свободно прошли через ворота и увидели ряд зданий с вывесками. На одной я прочитал: «ПАНАМА». Что за чепуха? Неужели мы попали на Панамский канал, в Америку? Но это же невозможно! Может быть, перед нами просто шляпный магазин, где продают панамы?
Но тут Единичка обратила внимание на то, что слово «ПАНАМА» написано раздельно: «П-АНА-МА». А на другом здании она прочитала: «П-АНА-ФИ». Ничего не понимаю: ПАНАМА, ПАНАФИ… Тогда любопытная Единичка сбегала куда-то и разузнала наконец, в чём дело. Оказывается, слово «КАНАЛ» сокращённо означает Комбинат АНАЛОГИЙ, «П-АНА-МА» — это Полная АНАлогия МАтематическая, а «П-АНА-ФИ» — тоже Полная АНАлогия, но уже ФИзическая. Чудно! Что ещё за аналогии такие?!
Мы направились к зданию с вывеской «П-АНА-МА». Здесь было несколько десятков дверей, на каждой двери табличка с названием отдела. Каждый отдел занимается своими вопросами, причём самыми разнообразными. Так в одном и том же отделе одновременно исследовалось и прямолинейное равномерное движение, и давление жидкости на стенки сосуда. Тут же вычисляли длину окружности и сверх того изучали ещё много всяких явлений, не имеющих между собой ничего общего. В следующем отделе изучали законы падения тел и тут же вычисляли площадь круга. А вот у третьей двери висела совсем уж нелепая табличка: «Кручение валов и мыльные пузыри». По-моему, пытаться объять необъятное — дело дилетантов. Я даже не стал заходить в эту «ПАНАМУ» и направился к другому зданию под вывеской «П-АНА-ФИ». И вот тут-то мы с Единичкой очутились в поистине волшебном царстве! Нас роскошно, с ветерком прокатили в восхитительном лифте имени Альберта Эйнштейна. Сами понимаете, что такое название зря не даётся. Но в чём, собственно, дело, нам не объяснили. Впрочем, расспрашивать было некогда. У меня нет слов, чтобы описать все, что мы испытали при этом сказочном лифтополете. Может быть, я сумею поделиться с вами впечатлениями позже, когда приду в себя. Так что ждите моего следующего послания. Ждите — не пожалеете!
ПЯТНАДЦАТОЕ ЗАСЕДАНИЕ КРМ
чуть было не сорвалось из-за серьёзных разногласий: никак не могли договориться, где его проводить. Спортзал, класс, прогулка по бульварам — все это уже было и больше никого не устраивало. Нулик заявил, что заседать следует только на воздушном шаре. Сева хотел отправиться на вершину какого-нибудь вулкана. Олег считал, что не мешало бы посетить один из научно-исследовательских институтов. Предложения, как видите, достаточно смелые, но мало осуществимые… Спорили долго. Наконец Таня нашла выход, который примирил всех:
— Купим по воздушному шарику, отправимся на Ленинские горы и побродим вокруг здания университета.
— То, да не то, — вздохнул Нулик.
— Зато по карману, — рассмеялся Сева.
Олег сразу же посоветовал не тратить попусту времени на явные нелепости Магистра.
Президент надулся:
— А я только что собирался сказать, что воздушный шар не мог взмыть вверх из-за потери карандаша.
— Собирался и сказал. Чего ж тебе ещё?
— Ещё то, что оболочка шара не могла превратиться в парашют.
— Ладно, — махнул рукой Олег. — С тобой каши не сваришь. Давай выговаривайся.
— Да нет, у меня все, — торопливо сказал Нулик. — Я только хотел уточнить: надевают ли в воздухе акваланги и имеются ли у парашюта стропила? Наверное, Магистр перепутал их со стропами? А теперь можно переходить к вулканологам.
— Какие там вулканологи! — фыркнул Сева. — Конечно, это были археологи. Они сами и выкопали ту яму, которую Магистр принял за кратер «непогашенного» вулкана. Неужели ты сразу не догадался?
— Догадался, да стоит ли говорить о таких «явных нелепостях»? — вывернулся президент.
— Но, но! Без хитростей! — погрозил пальцем Сева. — Сосчитай-ка лучше, сколько дней в миллионе секунд.
Нулик наморщил лоб и зашевелил губами.
— Миллион секунд… это будет… В общем, наверное, больше суток.
— Уж конечно, больше, — кивнул Сева, — но раз этак в двенадцать…
— Ого! Что же тогда миллиард минут, которые прожил Магистр? Лет двести, никак не меньше!
— Около двух тысяч, — поправил Олег.
Все засмеялись.
— Да, права была Единичка, — сказала Таня. — Для человека двух тысяч лет от роду Магистр действительно выглядит моложаво.
— Представляю себе, что было на земле триллион минут тому назад! Наверное, тогда ещё жили эти… неандертальцы? — спросил Нулик.
— Где там! Тогда ещё и питекантропов не было. Ведь триллион минут — значит два миллиона лет!
— А квадриллион минут тому назад, — продолжал приставать президент, — что было тогда?
— Эк куда тебя занесло! — отбивался Олег… — Ведь два квадриллиона минут — это около четырех миллиардов лет. А в это время и планеты-то нашей ещё не существовало.
— Подумать только! — удивился президент.
— На этот вопрос мы потратили по крайней мере 1000 секунд, — вмешался Сева. — Не довольно ли?
— В самом деле, — согласился Нулик. — Я только хотел спросить, будем мы выяснять, пошёл Магистр на восток или на запад?
— Не будем, — отрезал Сева.
— Поверим и на этот раз Единичке, — предложила Таня, — она не ошибается. А вот о несправедливых мальчиках и обиженной девочке поговорить стоит…
— И потому прошу слова, — перебил её Сева. — Мальчишки и в самом деле никого не обидели: ни себя, ни девочку. В этом легко убедиться. Ведь стоило им послушаться Магистра и удвоить девочкину порцию, как у них осталась бы только половина всех яблок. А девочка получила бы…
— Вторую половину! — подсказал Нулик.
— Значит, у девочки была четвёртая часть всего урожая, а у трех мальчиков…
— Три четверти! — снова подсказал президент.
— И никакой несправедливости. Яблоки были честно поделены на четыре части поровну.
Незаметно подошли мы к Ленинским горам и постояли некоторое время, любуясь великолепной панорамой зимнего заснеженного города. Но тут, заметив лыжный трамплин, Нулик захотел во что бы то ни стало съехать с него вместе с Пончиком. Таня не без труда отговорила его от этой затеи.
— Если хочешь непременно поломать голову, так уж лучше над тем, как Единичка в уме возводила в квадрат числа, оканчивающиеся пятёркой.
— И как она это делала? — поинтересовался малыш.
— Как? Очень просто. Допустим, надо возвести в квадрат число 75. Отделяем мысленно число единиц, то есть пятёрку, а число десятков — 7 — умножаем на число, следующее за семёркой, то есть на восемь. Семью восемь — 56. Теперь к этому произведению приписываем справа квадрат пяти — 25. Вот и ответ: 75^2=5625. Быстро и просто!
Нулик пришёл в восторг от остроумного способа и тотчас же принялся возводить в квадрат число 65: отделив пятёрку, умножил 6 на 7, получил 42 и приписал 25. И представьте себе, ответ получился точный: 4225.
Сева, однако, заметил, что это легко и просто с двузначными числами. А вот если взять трехзначное…
— Попробуйте в уме возвести в квадрат 615. Ведь для этого надо помножить 61 на 62. И не на бумажке, а в уме! А это и долго и нудно…
Все согласились, что Единичкин способ хорош только для двузначных чисел.
— Но ведь она возводила в квадрат и трехзначные, — напомнил Нулик. — Но каким образом?
Сева пожал плечами:
— Откуда я знаю? Об этом надо бы спросить у неё.
— Надо бы, — согласился президент, — да где она?
— Не так далеко, как ты думаешь, — сказал я, медленно засовывая руку в карман.
Ребята переглянулись.
— Вы хотите сказать… она там? — с запинкой произнёс Нулик, заворожённо следя за моей рукой.
Я не мог не улыбнуться.
— Успокойся. Всего только письмо от неё. В ту же секунду члены КРМ, издав какой-то поросячий визг, повисли на мне как связка бананов.
В общем, прошло не менее минуты, пока письмо, переходя из рук в руки, очутилось наконец у Тани и все успокоились настолько, что она смогла его прочитать.
ПИСЬМО ЕДИНИЧКИ
«Дорогие члены Клуба Рассеянного Магистра — Таня, Сева, Олег, Нулик и, конечно, Пончик! Мне уже очень давно хочется лично познакомиться с вами. Надеюсь, это удастся скоро — как только я вернусь домой. А пока познакомимся письменно.
Я по-прежнему путешествую с Магистром. Мы с ним очень подружились. В общем, он хороший и добрый. И умный. Да-да, не смейтесь. Разве виноват человек, что родился таким рассеянным! Думаю, и мы с вами не всегда так уж внимательны. Признаться, я тоже частенько посматриваю на уроках по сторонам, а когда меня вдруг спросят, отвечаю невпопад. А пишу я письмо потому, что вам иначе не догадаться, как возводить в квадрат трехзначные числа в уме. (Не догадаться потому, что способ выдумала я сама.)
Следите за мной внимательно. Возьмём число 215 и возведём его в квадрат. Сперва мысленно отделим, только не одну, а две последние цифры — 15. Далее узнаем, сколько в этом отделённом числе заключено пятёрок. Ясно, три. Припишем эту тройку к цифре 2, оставшейся в числе 215 слева. Получаем 23. Умножим 23 все на ту же двойку: 23*2=46. А дальше остаются пустяки. Припишем к числу 46 квадрат отделённой части — 15, он равен 225. (Это вы уже, вероятно, запомнили, возводя в квадрат двузначные числа.) И вот окончательный ответ: 215^2=46225. Ну как, ловко? Поупражняйтесь-ка сами!
Я теперь буду вам часто писать. Жаль только, что не могу дать своего обратного адреса: ведь мы с Магистром никогда не знаем, где очутимся завтра! Ну, всего вам хорошего. До свидания.
Единичка».
Единичкин способ понравился, и все тут же стали проверять его на практике. Сева, например, стал возводить в квадрат недавно избранное им число 615. Отделил 15, установил, что в нём содержатся три пятёрки, и приписал тройку справа от шести: 63. Далее умножил 63 на шесть, то есть на оставшееся после отделения число: 63*6=378. Ребята внимательно следили за его рассуждениями. Затем по известному уже правилу Сева возвёл в квадрат 15, получил, естественно, 225 и приписал это число к числу 378.
И получилось 378 225.
А вот у Тани произошла заминка. Она стала возводить в квадрат 435. Как и полагается, отделила 35 (в этом числе 7 пятёрок). Приписала семёрку к четвёрке и умножила на четыре: 47*4=188. Быстро возвела в квадрат 35, получила 1225, а дальше…
— Чепуха получается!
В самом деле, приписав к 188 число 1225, Таня получила явно нелепый ответ, раз в 10 больше возможного: 1881225!
— Выходит, в Единичкином способе есть какой-то изъян, — грустно заключила она. — Жаль!
— Никакого изъяна, — успокоил я Таню. — Дело в том, что приписывать справа можно только трех-, но не четырехзначные числа. А у тебя-то получилось четырехзначное — 1225.
— Не могу же я сделать из него трехзначное! — вспылила Таня.
— И не надо! Припиши только последние три цифры — 225, а единицу прибавь к числу слева — к 188. Получишь 189. Вот к ста восьмидесяти девяти и приписывай теперь 225. И получишь 189225.
— И как это вы догадались? — позавидовал Нулик. — Только мне-то нужно точное математическое доказательство. Знаете сами, без доказательств я ничему не верю.
Все согласились, что президент прав. Поэтому решили непременно найти Единичкиному правилу точное обоснование. Поиски, правда, отложили, а пока что занялись последним приключением Магистра, и Нулик тут же, с ходу спросил, что такое аналогия?
— Аналогия — это подобие, соответствие, — объяснил я. — Иногда такие соответствия можно найти между самыми на первый взгляд разными явлениями.
— Ах так?! — обрадовался президент. — Тогда, может, скажете, какая аналогия между падением тел и площадью круга или между длиной окружности и давлением жидкости?
— Спроси ещё, что общего между кручением вала и мыльными пузырями! — возмутился Сева.
— На первый взгляд ничего, конечно, — сказал я. — Но математики, между прочим, обнаруживают иногда аналогии в явлениях самых разных.
— Каким образом? — полюбопытствовал Нулик.
Вместо ответа я рассказал ребятам
СКАЗКУ ПРО КЛЮЧИК.
Однажды, в древние времена, набрели люди на огромную неприступную крепость-дворец, где никто уже давно не жил. В этом дворце были тысячи комнат, залов, галерей, башен… Однако проникнуть туда не мог никто — все двери были заперты, а ключей не было. Но люди оказались любознательными, им не терпелось выяснить, что скрывается за каждой запертой дверью. Позвали искусных мастеров и велели им подобрать ключи ко всем замкам. Легко сказать — ко всем! Ведь замков сотни, тысячи! Но мастера были чудо-мастерами. Они подобрали ключи особые. Каждый ключ открывал не один, а много — несколько десятков, а то и сотен замков. И вот необыкновенные тайны, скрытые в крепости, стали постепенно открываться людям. И всё же многие двери так до сих пор и остаются запертыми, а потомки искусных мастеров все ещё ломают головы, подбирая к ним ключи.
— Интересная сказка! — похвалил президент. — Но при чём здесь математика и математические аналогии?
— Сказка — ложь, да в ней намёк, добрым молодцам урок! — ответил я. — Ведь к любой математической задаче тоже надо сперва подобрать подходящий ключик. Вот попробуем решить такую задачу. В магазины привезли яблоки одного сорта, и поэтому продавали их повсюду по одной цене. Спрашивается: какую выручку от продажи этих яблок получил каждый магазин в отдельности?
— Как же решать задачу, когда ничего не известно — ни цены, ни сколько яблок завезено? — рассердился Нулик.
— В таком случае, — предложил я, — решим задачу попроще. Пусть нам нужно узнать выручку только одного магазина, который продал 50 килограммов яблок по шестидесяти копеек за килограмм.
— Другой разговор! — оживился президент. — Умножим 50 на 60, и выручка в кармане — 30 рублей!
— Правильно! Но ведь точно так же ты будешь вычислять выручку и любого другого магазина. Поэтому все решения можно обобщить одним-единственным. Обозначим цену буквой a, а количество проданных яблок буквой x. Тогда выручка (обозначим её буквой y) окажется равной a, умноженному на х, то есть: ax. Получим равенство: y=ax. Остаётся подставить вместо букв числа, то есть цену и количество яблок, проданных каждым магазином, — и задача решена.
— Понятно! — просиял Нулик. — Значит, равенство y=ax — тот самый ключик, который пригоден для всех фруктовых магазинов?
— Что фруктовые магазины! Будь ключик пригоден только для магазинов, великие возможности математики были бы слишком сужены. Одним и тем же математическим равенством можно выразить явления самые разнородные!
