Великая Теорема Ферма

Он сообщил Тейлору, что не видит смысла продолжать их совместные усилия по исправлению доказательства. Тейлор к тому времени уже принял решение провести сентябрь в Принстоне прежде, чем возвращаться в Кембридж, и поэтому, несмотря на то, что Уайлс пал духом, Тейлор предложил поработать над проблемой еще месяц. Если к концу сентября выяснится, что никаких признаков успеха нет, они публично признают поражение и опубликуют доказательство в том виде, в каком оно есть, чтобы предоставить другим возможность найти и исправить вкравшуюся ошибку.

Подарок ко дню рождения

      Хотя сражение, которое Уайлс вел с самой трудной математической проблемой мира, по-видимому, было обречено на поражение, он мог, оглянувшись на семь последних лет, утешить себя сознанием того, что все же он достиг неплохих результатов.
      Если не считать заключительной части, связанной с использованием метода Колывагина-Флаха, остальная работа Уайлса сомнений не вызывала. Гипотеза Таниямы-Шимуры и Великая теорема Ферма могли оставаться недоказанными, тем не менее Уайлс обогатил математику целой серией новых методов и стратегий, которые можно было использовать для доказательства других теорем. В том, что Уайлс потерпел неудачу, не было ничего постыдного, и он начал привыкать к такому положению дел.
      В качестве слабого утешения Уайлс хотел по крайней мере понять, почему он потерпел поражение. Пока Тейлор еще и еще раз подвергал тщательному анализу альтернативные методы, Уайлс решил посвятить сентябрь изучению метода Колывагина-Флаха, чтобы понять, почему он не работает. Он живо вспоминает те роковые дни: «В понедельник 19 сентября я с утра сидел у себя в кабинете, изучая метод Колывагина-Флаха. Я не надеялся на то, что мне удастся заставить его заработать, но хотел по крайней мере выяснить, почему этот метод не срабатывает. Я понимал, что хватаюсь за соломинку, но хотел до конца разобраться в причинах постигшей меня неудачи. Внезапно, совершенно неожиданно, на меня снизошло озарение. Я понял, что хотя метод Колывагина-Флаха не работал на полную мощность, в нем было все, что необходимо для возможности применения теории Ивасавы, на которую я первоначально опирался. Мне стало ясно, что от метода Колывагина-Флаха я могу взять все необходимое для того, чтобы сделать эффективным мой первоначальный подход трехлетней давности. Так из руин и пепла метода Колывагина-Флаха возникло правильное решение проблемы».
      Теория Ивасавы сама по себе была недостаточна. Метод Колывагина-Флаха сам по себе также был недостаточен. Но взятые вместе, они идеально дополняли друг друга. Этот момент, когда на него снизошло прозрение, Уайлс не забудет никогда. Когда он вспоминает те мгновения, картины прошлого оживают настолько ярко, что он едва удерживает слезы: «Решение было неописуемо прекрасно, такое простое и изящное. Я никак не мог взять в толк, почему оно не приходило мне в голову раньше. Не веря самому себе, я минут двадцать молча таращился на него. На следующий день я обошел моих коллег по математическому факультету и пригласил их заглянуть ко мне в кабинет и посмотреть, все ли в порядке с найденным мной накануне решением. С решением все было в порядке. Я был вне себя от возбуждения. Это был самый важный момент за всю мою математическую карьеру. Ничто из того, что мне суждено свершить, не могло сравниться с переживаемым моментом».
      Момент действительно был необычайно важным: не только исполнилась мечта детства Уайлса, не только достигнута кульминация восьми лет напряженнейшей работы, но и сам Уайлс, казалось, находившийся на грани поражения, еще раз заявил о себе как о выдающемся математике. Последние четырнадцать месяцев были особенно мучительным, унизительным и отчаянным периодом в его математической карьере. И теперь блестящее озарение положило конец всем страданиям.
      «В первый вечер я отправился домой и заснул у себя в кабинете над найденным решением. На следующее утро к 11 часам я убедился, что все в порядке. Тогда я спустился вниз и сказал жене: "Я нашел его! Думаю, что мне удалось найти его". Мое заявление прозвучало так неожиданно, что жена решила, будто я говорю о какой-то детской игрушке. Тогда я объяснил, что мне удалось исправить свое доказательство».
 

      Первая страница доказательства теоремы Ферма, представленного Уайлсом

MODULAR ELLIPTIC CURVES AND FERMAT'S LAST THEOREM /455

Chapter 1

      This chapter is devoted to the study of certain Galois representations. In the first section we introduce and study Mazur's deformation theory and discuss various refinements of it. These refinements will be needed later to make precise the correspondence between the universal deformation rings and the Hecke rings in Chapter 2. The main results needed are Proposition 1.2 which is used to interpret various generalized cotangent spaces as Selmer groups and (1.7) which later will be used to study them. At the end of the section we relate these Selmer groups to ones used in the Bloch—Kato conjecture, but this connection is not needed for the proofs of our main results.
      In the second section we extract from the results of Poitou and Tate on Galois cohomology certain general relations between Selmer groups as ? varies, as well as between Selmer groups and their duals. The most important observation of the third section is Lemma 1.10(i) which guarantees the existence of the special primes used in Chapter 3 and [TW].

1. Deformations of Galois representations

      Let pbe an odd prime. Let ? be a finite set of primes including pand let Q ?be the maximal extension of Qunramified outside this set and ?. Throughout we fix an embedding of Q, and so also of Q ?, in C. We will also fix a choice of decomposition group D qfor all primes qin Z. Suppose that kis a finite field of characteristic pand that
      (1.1)
      ? 0: Gal( Q ?/ Q) ? GL 2( k)
 
      is an irreducible representation. In contrast to the introduction we will assume in the rest of the paper that ? 0comes with its field of definition k. Suppose further that det ?0 is odd. In particular this implies that the smallest field of definition for ? 0is given by the field k0 generated by the traces but we will not assume that k= k 0. It also implies that ?0 is absolutely irreducible. We consider the deformations [?] to GL 2( A) of ? 0in the sense of Mazur [Ma1]. Thus if W( k) is the ring of Witt vectors of k, Ais to be a complete Noetherian local W( k)-algebra with residue field kand maximal ideal m, and a deformation [?] is just a strict equivalence class of homomorphisms ?: Gal( Q ?/ Q) ? GL 2( A) such that ? mod m= ? 0, two such homomorphisms being called strictly equivalent if one can be brought to the other by conjugation by an element of ker: GL 2( A) ? GL 2( k). We often simply write ? instead of [?] for the equivalence class.
 
      В следующем месяце Уайлс, наконец, смог исполнить обещание, которое ему не удалось исполнить в прошлом году. «Приближался день рождения Нады, и я вспомнил, что в прошлый раз я не смог подарить ей то, что она хотела получить в подарок. На этот раз, через полминуты после начала праздничного обеда по случаю ее дня рождения, я подарил Наде рукопись полного доказательства. Думаю, что этому подарку она была рада больше, чем любому другому, который я когда-либо дарил ей».

      Дата: 25 окт 1994 11:04:11
      Тема: Последние новости о великой теореме Ферма
      Этим утром поступили две рукописи: «Модулярные эллиптические кривые и великая теорема Ферма» Эндрю Уайлса и «Теоретико-кольцевые свойства некоторых алгебр Гекке» Ричарда Тейлора и Эндрю Уайлса.
      Первая из них (большая) содержит среди прочего доказательство великой теоремы Ферма, использующее в одном решающем шаге вторую (малую).
      Как известно большинству из вас, в доказательстве, изложенном в кембриджских докладах Уайлса, оказался серьезный пробел, а именно: построение эйлеровской системы. После безуспешных попыток исправить эту конструкцию, Уайлс обратился к другим подходам, которые он использовал раньше, но от которых отказался в пользу идеи эйлеровской системы. Уайлсу удалось восполнить пробел в своем доказательстве в предположении, что некоторые алгебры Гекке представляют собой локально полные пересечения. Эта и остальные идеи, бегло описанные в кембриджских докладах Уайлса, изложены в первой рукописи. В совместной работе Тейлор и Уайлс (вторая статья) установили необходимое свойство алгебр Гекке. Общий ход доказательства аналогичен намеченному Уайлсом в его кембриджских докладах. Новый подход гораздо проще и короче первоначального, поскольку изъята система Эйлера. (После изучения обеих работ Фалтингсу удалось еще более упростить эту часть доказательства.) Варианты представленных рукописей попали в руки небольшого числа людей (в некоторых случаях) в течение нескольких недель. И хотя разумно сохранять осторожность, основания для оптимизма заведомо имеются.
      Карл Рубин
      Университет штата Огайо

Глава 8. Великое Объединение в математике

      Был малый не промах, а стал, как чума.
      Виною всему — теорема Ферма:
      Не может никак он ее доказать,
      Уайлса пример не дает ему спать.
Фернандо Гувеа

      На этот раз никаких сомнений в доказательстве не было. Две статьи общим объемом в 130 страниц были подвергнуты самому тщательному анализу, которому когда-либо подвергались математические рукописи за всю историю человечества, и в мае 1995 года были опубликованы в журнале «Annals of Mathematics».
      Уайлс снова оказался на первой полосе «New York Times», но заголовок «Математик утверждает, что классическая проблема решена» оказался в тени заголовка другой статьи: «Новые данные о возрасте Вселенной ставят перед учеными новую космическую проблему». И хотя журналисты на этот раз проявили по отношению к Великой теореме Ферма несколько меньший энтузиазм, математики по достоинству оценили истинное значение полученного доказательства. «Для математиков окончательный вариант доказательства эквивалентен по своему значению расщеплению атома или открытию структуры ДНК, — заявил Джон Коутс. — Доказательство Великой теоремы Ферма представляет собой великий триумф человеческого интеллекта, и не следует упускать из виду, что оно единым махом совершило переворот в теории чисел. Для меня очарование и красота работы Эндрю заключается в том, что она стала гигантским шагом вперед в развитии теории алгебраических чисел».
 

      За восемь лет упорнейшего труда Уайлс, по существу, свел воедино все достижения теории чисел XX века, выстроив из них одно сверхмощное доказательство. Преследуя свою главную цель, Уайлс попутно создавал совершенно новые доказательства и использовал их в немыслимых ранее сочетаниях с традиционными методами.
 
      Этим Уайлс открыл новые направления для атак на множество других проблем. По словам Кена Рибета, доказательство Уайлса представляет собой идеальный синтез современной математики и служит источником вдохновения на будущее: «Я думаю, что если бы вы оказались на необитаемом острове и захватили с собой только рукопись с доказательством Уайлса, то у вас было бы предостаточно пищи для размышлений. Перед вами предстали бы все течения современной мысли в области теории чисел. На одной странице вы встретите краткое упоминание о фундаментальной теореме Делиня, на другой найдете несколько неожиданную ссылку на теорему Хеллегуарка — и все это вводится в игру и используется с тем, чтобы через мгновенье уступить место следующей идее».
      Большинство журналистов превозносили на все лады найденное Уайлсом доказательство Великой теоремы Ферма, некоторые из них комментировали нераздельно связанное с ним доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры. Лишь немногие удосужились упомянуть о вкладе Ютаки Таниямы и Горо Шимуры, двух японских математиков, которые еще в 50-е годы XX века посеяли семена, предопределившие успех Уайлса. Хотя Танияма умер более тридцати лет назад, его коллега — Горо Шимура — стал свидетелем доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры. Когда его спросили о его впечатлении от доказательства, он мягко улыбнулся и сдержанно, с достоинством ответил: «Я же говорил вам».
      Подобно многим своим коллегам, Кен Рибет считал, что доказательство гипотезы Таниямы-Шимуры совершило переворот в математике: «Важным психологическим отзвуком доказательства гипотезы Таниямы-Шимуры явилось то, что теперь математики стали смело браться за решение проблем, которые прежде казались им неприступными. Ныне картина полностью изменилась. Теперь известно, что все эллиптические кривые модулярны, и, когда вы доказываете какую-нибудь теорему для эллиптических кривых, вы тем самым доказываете теорему относительно модулярных форм, и наоборот. У вас появляется иное видение происходящего в математике, и мысль о том, что вам придется работать с модулярными формами пугает вас меньше, поскольку вы, по существу, работаете с эллиптическими кривыми. Когда прежде приходилось писать статью об эллиптических кривых, мы вместо того, чтобы открыто признать, что нам ничего не известно, делали предположение: "Пусть гипотеза Таниямы-Шимуры доказана", — и смотрели, какие следствия проистекают из этого. Теперь нам достоверно известно, что гипотеза Таниямы-Шимуры верна, и мы смело можем утверждать, что из этого следует. Нужно ли говорить, что это гораздо приятнее».
      С помощью гипотезы Таниямы-Шимуры Уайлс объединил эллиптический и модулярный миры и, тем самым, проложил математике пути ко многим другим доказательствам: проблемы, стоящие в одной области, могут быть решены по аналогии с проблемами из параллельной области. Классические нерешенные проблемы теории эллиптических кривых стало возможным подвергнуть пересмотру, используя все имеющиеся средства и методы теории модулярных форм.
      Что еще более важно, Уайлс сделал первый шаг к осуществлению грандиозной программы математики Роберта Ленглендса. После успеха, достигнутого Уайлсом, стало возможно с новыми силами пытаться доказать другие гипотезы, объединяющие различные разделы математики. В марте 1996 года Уайлс разделил с Ленглендсом премию Вольфа (не путать с премией Вольфскеля) размером в 100 000 долларов. Комитет по присуждению премии Вольфа признал, что доказательство Уайлса само по себе представляет собой выдающееся достижение, к тому же оно вдохнуло жизнь в амбициозную схему Ленглендса. Уайлс совершил прорыв, который может привести математику в новый золотой век.
      После года сумятицы и неопределенности математическое сообщество могло, наконец, успокоиться. На каждом симпозиуме, коллоквиуме, на любой конференции одно заседание посвящалось доказательству Уайлса, а бостонские математики даже устроили соревнование: кто из них сумеет запечатлеть памятное событие, каким, несомненно, стало доказательство Уайлса, в шутливом стихотворении. Всеобщее внимание привлекли следующие вирши-лимерик:
 
— Гарсон, книгу жалоб прошу я давно:
Несвежая скатерть, прокисло вино.
— Что книга! Ее я могу Вам подать,
Но узки поля, и нельзя записать,
Как Вы ни старайтесь, на них ничего.
 
       Э.Хоув, Х.Ленстра, Д.Моултон.

Великие нерешенные проблемы

      Уайлс сознавал, что, дав математике одно из величайших доказательств, он лишил ее одной из величайших загадок: «Люди говорили мне, что я отнял у них проблему, и просили дать им взамен что-нибудь еще. Математики впали в меланхолию. Мы утратили нечто такое, что было с нами на протяжении долгого времени и что многих из нас привлекло к математике. С математическими проблемами всегда так. Нам всегда необходимо находить новые проблемы, которые привлекли бы наше внимание».
      Но хотя Уайлс действительно разгадал самую знаменитую математическую проблему, любителям трудных задач-головоломок не стоит терять надежду. Нерешенных проблем еще осталось превеликое множество. Многие из них, как и Великая теорема Ферма, уходят корнями в древнегреческую математику, понять их может любой школьник. Например, множество загадок и поныне связано с простыми числами. В главе 1 мы уже упоминали о том, что совершенным называется число, сумма делителей которого совпадает с самим числом. Например, 6 и 28 — совершенные числа, так как
      1, 2, 3 делят 6, и 6 = 1 + 2 + 3,
      1, 2, 4, 7, 14 делят 28, и 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
      Рене Декарт говорил, что «совершенные числа, подобно совершенным людям, встречаются весьма редко». Самое большое из известных совершенных чисел содержит в своей десятичной записи 130000 цифр и определяется по формуле
       2 216090·(2 216091— 1).
      Общее свойство всех известных совершенных чисел заключается в том, что они четны. Поэтому так и подмывает сказать, что все совершенные числа четны. Проблема, увы, пока не поддающаяся решению, заключается в том, чтобы доказать это утверждение.
      Другая сложная проблема, связанная с совершенными числами, состоит в выяснении ответа на вопрос, можно ли исчерпать запас совершенных чисел за конечное число шагов. На протяжении веков многие математики, занимающиеся теорией чисел, пытались выяснить, конечно или бесконечно множество совершенных чисел, но всякий раз терпели неудачу. Всякому, кому удалось бы дать определенный ответ на этот вопрос, уготовано почетное место в истории математики.
      Еще одна область богата древнейшими нерешенными проблемами — теория простых чисел. Последовательность простых чисел подчиняется какой-то плохо различимой закономерности, и простые числа живут по собственным правилам. Их сравнивают с сорной травой, случайным образом распределенной среди натуральных чисел. Перебирая одно за другим натуральные числа, можно набрести на области, богатые простыми числами, но, по неизвестной причине, другие области оказываются совершенно пустыми. Математики веками пытались разгадать закон, по которому распределены простые числа, и всякий раз терпели поражение. Возможно, никакого закона не существует, и распределение простых чисел случайно по самой своей природе. В этом случае математикам можно было бы порекомендовать заняться решением менее амбициозных проблем, связанных с простыми числами.
      Например, две тысячи лет назад Евклид доказал, что запас простых чисел неисчерпаем (см. гл. 2). Последние два столетия математики пытались доказать, что запас простых чисел-близнецов также неисчерпаем. Близнецами называют пары простых чисел, отличающихся на 2, т. е. являющихся ближайшими соседними простыми числами (простые числа не могут отличаться на 1, иначе одно из них должно было бы быть четным). Примерами небольших простых чисел-близнецов могут служить (5, 7), (11, 13) и (17, 19), примерами больших чисел-близнецов — (22271, 22273) и (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063). Существуют веские основания полагать, что множество простых чисел-близнецов бесконечно, но никому пока не удалось доказать, что это действительно так.
      Самый большой прорыв к доказательству так называемой гипотезы простых чисел произошел в 1966 году, когда китайскому математику Чену Джинграну удалось показать, что существует бесконечное множество пар простых и почти простыхчисел. У настоящих простых чисел нет делителей (отличных от самого числа и единицы), а почти простые числа уступают простым самую малость: у них существуют только два простых делителя. Например, число 17 простое, а число 21 (=3·7) — почти простое. Что же касается таких чисел, как 120 (=2·3·4·5), то они не простые и не почти простые, так как их можно представить в виде произведения нескольких простых множителей. Чен доказал, что существует бесконечно много случаев, когда простое число имеет в качестве близнеца либо другое простое число, либо почти простое число. Тот, кому удастся продвинуться еще на один шаг и снять оговорку «почти», совершит величайший прорыв в теории простых чисел со времен Евклида.
      Еще одна загадка простых чисел восходит к 1742 году, когда Христиан Гольдбах, учитель малолетнего царя Петра I, написал письмо великому математику Леонарду Эйлеру (который был родом из Швейцарии, но почти всю жизнь проработал в Петербурге). Рассмотрев десятки четных чисел, Гольдбах заметил, что все они представимы в виде суммы двух простых чисел:
      4 = 2 + 2,
      6 = 3 + 3,
      8 = 3 + 5,
      10 = 5 + 5,
      50 = 19 + 31,
      100 = 47 + 53,
      21000 = 17 + 20983,
      . . . . . .
 
      Гольдбах спрашивал у Эйлера, может ли тот доказать, что каждое четное число представимо в виде суммы двух простых чисел. Несмотря на многолетние усилия, Эйлеру, которого считали «живым воплощением анализа», так и не удалось решить проблему Гольдбаха. Ныне, в век компьютеров, гипотезу Гольдбаха подвергли проверке. Оказалось, что она верна для любого четного числа до 100 000 000, но доказать, что она верна для любого из бесконечно многих четных чисел, пока никому не удалось. Математики сумели доказать, что любое четное число представимо в виде суммы не более, чем 800 000 простых чисел , но этот результат весьма далек от доказательства первоначальной гипотезы Гольдбаха. Но даже столь слабые результаты позволили пролить свет на природу простых чисел, и в 1941 году российскому математику Ивану Матвеевичу Виноградову, которому удалось продвинуться на пути к доказательству гипотезы Гольдбаха, была присуждена Сталинская премия в размере 100 000 рублей.
      Из всех проблем, способных с большей или меньшей вероятностью занять место Великой теоремы Ферма, наибольшие шансы имеет проблема плотнейшей упаковки шаров Кеплера. В 1609 году немецкий ученый Иоганн Кеплер доказал, что планеты движутся не по круговым, а по эллиптическим орбитам. Это открытие совершило переворот в астрономии и позднее помогло Исааку Ньютону найти закон всемирного тяготения. Математическое наследие Кеплера не столь грандиозно по своим масштабам, как наследие Ньютона, но не менее глубоко. Проблему плотнейшей упаковки шаров можно сформулировать как задачу о том, как наиболее экономно сложить из апельсинов пирамиду.
      Проблема родилась в 1611 году, когда Кеплер написал небольшое сочинение «О шестиугольных снежинках», предназначенное в дар его покровителю Иоганну Вакгеру фон Вакенфельсу. В этом сочинении Кеплер успешно объяснил, почему снежинки всегда имеют шестиугольную форму, высказав предположение, что рост каждой снежинки начинается с обладающего гексагональной симметрией зародыша, который, падая в атмосфере, увеличивается в размерах. Непрерывно изменяющиеся ветер, температура и влажность позволяют каждой снежинке сохранять индивидуальность, а малые размеры зародыша приводят к тому, что условия, от которых зависит его рост, остаются одинаковыми со всех шести сторон, тем самым способствуя сохранению симметрии. В этом, на первый взгляд легкомысленном, сочинении проявился присущий Кеплеру замечательный талант извлекать глубокие и далеко идущие результаты из простейших наблюдений. Впоследствии Кеплер стал одним из основоположников кристаллографии.
      Интерес Кеплера к расположению и самоорганизации частиц вещества привел его к обсуждению другого вопроса — о плотнейшей упаковке частиц, при которой они занимают наименьший объем. Если предположить, что частицы имеют форму шаров, то ясно, что как бы они ни располагались в пространстве, между ними неизбежно останутся зазоры, и вопрос состоит в том, чтобы объем зазоров свести к минимуму. Кеплер рассмотрел несколько различных вариантов расположения шаров и для каждого варианта вычислил коэффициент заполнения пространства.
      Один из первых вариантов расположения шаров, рассмотренных Кеплером, сейчас принято называть гранецентрированной кубической решеткой. Ее можно построить, выложив сначала нижний слой шаров так, чтобы каждый шар был окружен шестью другими шарами. Второй слой образуют шары, уложенные в «ямки» поверх первого слоя, как показано на рис. 24. По существу, второй слой повторяет первый, но только слегка смещен относительно первого, чтобы шары второго слоя расположились в ямках первого слоя. Именно так обычно укладывают апельсины торговцы фруктами. Коэффициент заполнения пространства такой укладки составляет 74 %. Это означает, что при укладке апельсинов в картонный ящик гранецентрированная стратегия позволяет заполнить 74 % объема ящика апельсинами.
 

 

 

       Рис. 24. В гранецентрированной кубической упаковке шаров каждый слой состоит из сфер уложенных так, что каждая из них окружены шестью другими сферами. Поверх каждого слоя горизонтально накладывается следующий слой так, что любой из его шаров располагается не на шаре из предыдущего слоя, а в ямке. Частной разновидностью гранецентрированной кубической упаковки служат пирамиды из апельсинов в витринах овощных магазинов
 
      Гранецентрированную кубическую решетку можно сравнить с другими вариантами упаковки, например, с простой кубической решеткой. В этом случае каждый слой состоит из шаров, расположенных в виде квадратной решетки, а каждый следующий слой расположен в точности поверх предыдущего, как показано на рис. 25. Простая кубическая решетка имеет коэффициент заполнения пространства 53 %.
 

 

       Рис. 25. В простой кубической упаковке каждый слой состоит из шаров расположенных в виде квадратной решетки. Поверх каждого слоя горизонтально накладывается следующий слой так, что каждый его шар располагается строго над шаром предыдущего слоя
 
      Еще один вариант расположения шаров — гексагональная решетка — аналогичен гранецентрированной кубической решетке, поскольку каждый слой состоит из шаров, окруженных шестью другими шарами, но следующий слой не сдвинут относительно предыдущего, а расположен прямо поверх него так, что каждый шар опирается на самую верхнюю точку шара, расположенного под ним, как показано на рис. 26. У гексагональной решетки коэффициент заполнения пространства составляет всего лишь 60 %.
 

       Рис. 26. В упаковке с гексагональной решеткой каждый слой состоит из шаров расположенных так, что каждый из них окружен шестью другими шарами. Поверх каждого слоя горизонтально накладывается следующий слой так, что каждый шар верхнего слоя располагается непосредственно над шаром предыдущего слоя
 
      Кеплер исследовал множество различных конфигураций и пришел к заключению, что в сочинение «О шестиугольных снежинках» стоит включить только одну, а именно ту, которая в последствие получила название гранецентрированной кубической решетки, ибо у нее «упаковка оказывается плотнейшей из возможных». Утверждение Кеплера можно считать вполне разумным, так как коэффициент заполнения пространства для гранецентрированной кубической решетки наибольший из всех тех, которые были им обнаружены. Однако это не исключает возможность существования какого-то другого расположения шаров, с еще большим коэффициентом заполнения пространства, которое Кеплер попросту проглядел.
      Проблема плотнейшей упаковки шаров требует от математиков доказательства того, что гранецентрированная кубическая решетка представляет собой наиболее эффективный вариант упаковки шаров. Эта проблема на полвека старше Великой теоремы Ферма и, как теперь оказалось, еще более неприступна.
      Как и в случае Великой теоремы Ферма, решение проблемы Кеплера сводится к доказательству, охватывающему бесконечное множество возможных вариантов упаковки. Гипотеза Кеплера утверждает, что среди бесконечно многих вариантов расположения шаров нет ни одного такого, у которого коэффициент заполнения пространства был бы больше, чем у гранецентрированной кубической решетки. Математикам предстоит доказать, что это невозможно не только для регулярного, но и для случайного, хаотического, варианта расположения шаров.
      За последние 380 лет никому не удалось доказать, что гранецентрированная кубическая решетка действительно служит оптимальной стратегией упаковки. Но никто пока не открыл более эффективного метода упаковки. Отсутствие контрпримера означает, что для всех практических целей утверждение Кеплера применимо, но в абсолютном мире математики абсолютно необходимо строгое доказательство. Британский специалист по упаковке шаров К. А. Роджерс говорит, что «большинство математиков в правильность гипотезы Кеплера верят, а все физики в ее правильности твердо убеждены, так как это знают».
      Несмотря на отсутствие полного доказательства, за прошедшие со времен Кеплера столетия было пройдено несколько вех на пути к решению. В 1892 году скандинавский математик Аксель Туэ нашел доказательство для двумерного аналога проблемы Кеплера, т. е. обнаружил наиболее эффективное расположение шаров в одном-единственном слое, или, иначе говоря, укладки апельсинов не в ящике, а на подносе. Решением оказалось гексагональное расположение шаров. Впоследствие Тот, Сегрэ и Малер пришли к тому же заключению, но ни один из использованных в двумерном случае методов не применим к исходной трехмерной проблеме Кеплера.
      В наше время некоторые математики попытались подойти к проблеме Кеплера с совершенно другой стороны, а именно — вычислить верхний предел коэффициента заполнения пространства. В 1958 году К. А. Роджерс вычислил его верхний предел, который оказался равным 77,97 %. Это означает, что невозможно расположить шары так, чтобы коэффициент заполнения пространства был выше 77,97 %. Такое значение коэффициента заполнения пространства не намного больше, чем его значение для гранецентрированной кубической решетки, равное 74,04 %. Следовательно, если у какого-нибудь расположения шаров коэффициент заполнения пространства и оказался бы выше, чем у гранецентрированной кубической решетки, то превышение составило бы всего лишь несколько процентов.