Курс общей астрономии

В 1912 г. финский математик Зундман получил теоретическое решение этой задачи при произвольных начальных условиях в виде сходящихся рядов. Но эти ряды настолько сложны и сходятся так медленно, что не позволяют ни вычислять положения тел в пространстве, ни делать какие-либо заключения о характере и свойствах движений тел. Поэтому формулы Зундмана практического значения пока не имеют. Лагранж в 1772 г. доказал, что существует определенное количество частных случаев в задаче о трех телах, в которых может быть найдено точное решение. Если заданы массы тел и их положение на плоскости, как, например, на рис. 206 из § 156, то рассматриваемые частные случаи движения в этой плоскости получаются при расположении третьего тела в одной из пяти точек, называемых точками либрации или точками Лагранжа. Первые три точки либрации располагаются в определенных точках прямой, соединяющей обе заданные массы, причем одна между ними, а две другие - вне их. Четвертая и пятая Точки являются вершинами двух равносторонних треугольников, в которых остальные вершины заняты заданными массами. Лагранж показал, что если третье тело находится в одной из пяти точек либрации, то конфигурация, которую образуют все три тела, всегда остается подобной самой себе, а их движение происходит по коническим сечениям одинакового вида. Таким образом: 1) если три тела расположены на одной прямой, то они обращаются, оставаясь на ней, вокруг общего центра масс; 2) если три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника, то они обращаются вокруг общего центра масс так, что треугольник остается все время равносторонним. Лагранж считал, что найденные им решения имеют чисто теоретическое значение. Однако в XIX в. были открыты две группы астероидов (малых планет), движения которых приблизительно соответствуют второму решению Лагранжа (см. § 140). Первое решение позволяет изучить движение газовых струй в оболочках тесных двойных систем, о чем речь пойдет в § 157. 3адача определения движений четырех и более тел (задача n тел), притягивающих друг друга по закону Ньютона, еще более сложна, чем задача трех тел, и до сих пор не решена. Поэтому при исследовании движений п тел, например, тел Солнечной системы, применяется метод вычисления возмущений, позволяющий найти приближенное решение задачи, которое на определенном интервале времени достаточно близко к точному решению Вычисление возмущений для тел Солнечной системы - одна из самых важных, но очень трудных задач небесной механики ныне значительно облегченной благодаря применению электронно-счетных машин.

§ 57. Открытие Нептуна

Одним из самых блестящих достижений небесной механики является открытие планеты Нептун. В 1781 г. английский астроном Уильям Гершель открыл новую большую планету, получившую название Уран, которую раньше принимали за звезду и неоднократно, почти в течение целого столетия, определяли ее координаты. Когда по этим координатам стали вычислять орбиту Урана, то оказалось, что в его движении, даже после учета всех возмущений от известных тогда больших планет, имеются отклонения от кеплеровского движения. Для объяснения этих остаточных отклонений было сделано предположение, что они вызываются действием еще одной неизвестной планеты, и перед астрономией возникла задача: по возмущениям в движении Урана определить положение (координаты) возмущающей планеты. Эта трудная математическая задача была решена почти одновременно, независимо друг от друга, французским ученым Леверрье и английским - Адамсом. 23 сентября 1846 г. немецкий астроном Галле нашел предполагаемую планету на расстоянии всего лишь около 1° от той точки неба, которую указал ему Леверрье по своим вычислениям. Новая планета получила название Нептун. Открытие Нептуна, сделанное, по выражению Энгельса, на кончике пера, является убедительнейшим Доказательством справедливости закона всемирного тяготения Ньютона.

§ 58. Определение масс небесных тел

Закон всемирного тяготения Ньютона позволяет измерить одну из важнейших физических характеристик небесного тела - его массу. Массу небесного тела можно определить: а) из измерений силы тяжести на поверхности данного тела (гравиметрический способ); б) по третьему (уточненному) закону Кеплера; в) из анализа наблюдаемых возмущений, производимых небесным. телом в движениях других небесных тел. Первый способ применим пока только к Земле и заключается в следующем. На основании закона тяготения ускорение силы тяжести на поверхности Земли где т - масса Земли, a R - ее радиус. Отсюда масса Земли

(2.25)

Ускорение силы тяжести g (точнее, ускорение составляющей силы тяжести, обусловленной только силой притяжения), так же как и радиус Земли R , определяется из непосредственных измерений на поверхности Земли (см. § 46 и 62). Постоянная тяготения f достаточно точно определена из опытов Кэвендиша и Йолли, хорошо известных в физике. С принятыми в настоящее время значениями величин g, R и f по формуле (2.25) получается масса Земли Зная массу Земли и ее объем, легко найти среднюю плотность Земли. Она равна 5,52 г/см3 Третий, уточненный закон Кеплера позволяет определить соотношение между массой Солнца и массой планеты, если у последней имеется хотя бы один спутник и известны его расстояние от планеты и период обращения вокруг нее. Действительно, движение спутника вокруг планеты подчиняется тем же законам, что и движение планеты вокруг Солнца и, следовательно, уравнение (2.24) может быть записано в этом случае так: где - М, т и mc - массы Солнца, планеты и ее спутника, Т и tc - периоды обращений планеты вокруг Солнца и спутника вокруг планеты, a и ас - расстояния планеты от Солнца и спутника от планеты соответственно. Разделив числитель и знаменатель левой части дроби этого уравнения па т и решив его относительно масс, получим

(2.26)

Отношение для всех планет очень велико; отношение же наоборот, мало (кроме Земли и ее спутника Луны) и им можно пренебречь. Тогда в уравнении (2.26) останется только одно неизвестное отношение , которое легко из него определяется. Например, для Юпитера определенное таким способом обратное отношение равно 1 : 1050. Так как масса Луны, единственного спутника Земли, сравнительно с земной массой достаточно большая, то отношением в уравнении (2.26) пренебрегать нельзя. Поэтому для сравнения массы Солнца с массой Земли необходимо предварительно определить массу Луны. Точное определение массы Луны является довольно трудной задачей, и решается она путем анализа тех возмущений в движении Земли, которые вызываются Луной. Под влиянием лунного притяжения Земля должна описывать в течение месяца эллипс вокруг общего центра масс системы Земля - Луна. По точным определениям видимых положений Солнца в его долготе были обнаружены изменения с месячным периодом, называемые лунным неравенством. Наличие лунного неравенства в видимом движении Солнца указывает на то, что центр Земли действительно описывает небольшой эллипс в течение месяца вокруг общего центра масс Земля - Луна, расположенного внутри Земли, на расстоянии 4650 км от центра Земли. Это позволило определить отношение массы Луны к массе Земли, которое оказалось равным . Положение центра масс системы Земля - Луна было найдено также из наблюдений малой планеты Эрос в 1930-1931 гг. Эти наблюдения дали для отношения масс Луны и Земли величину . Наконец, по возмущениям в движениях искусственных спутников Земли отношение масс Луны и Земли получилось равным . Последнее значение наиболее точное, и в 1964 г. Международный астрономический союз принял его как окончательное в числе других астрономических постоянных. Это значение подтверждено в 1966 г. вычислением массы Луны по параметрам обращения ее искусственных спутников. С известным отношением масс Луны и Земли из уравнения (2.26) получается, что масса Солнца M¤ в 333 000 раз больше массы Земли, т.е. M¤ " 2 Ч 1033 г. Зная массу Солнца и отношение этой массы к массе любой другой планеты, имеющей спутника, легко определить массу этой планеты. Массы планет, не имеющих спутников (Меркурий, Венера, Плутон), определяются из анализа тех возмущений, которые они производят в движении других планет или комет. Так, например, массы Венеры и Меркурия определены по, тем возмущениям, которые они вызывают в движении Земли, Марса, некоторых малых планет (астероидов) и кометы Энке - Баклунда, а также по возмущениям, производимым ими друг на друга.

§ 59. Движение искусственных спутников Земли

Запуском 4 октября 1957 г. первого в мире советского искусственного спутника Земли человечество открыло новую эру в своей истории - эру создания искусственных небесных тел. Хотя искусственные небесные тела подчиняются тем же законам, что и естественные, некоторые особенности их орбит и условия, определяющие характер их движения, заслуживают отдельного рассмотрения. �скусственные спутники Земли (�СЗ) выводятся на орбиту с помощью многоступенчатых ракет. Последняя ступень ракеты сообщает спутнику определенную скорость на заданной высоте. Тело, запущенное горизонтально на высоте h от поверхности Земли, станет �СЗ, если его скорость в этот момент окажется достаточной. Если скорость запуска точно равна круговой скорости на данной высоте h, то тело будет двигаться по круговой орбите. Если эта скорость превышает круговую, то тело будет двигаться по эллипсу, причем перигей этого эллипса окажется в точке выхода на орбиту. Если же сообщенная скорость несколько меньше круговой, а высота h достаточно большая, то тело также будет двигаться по эллиптической орбите, но в этом случае точка выхода на орбиту станет апогеем. Масса искусственного спутника ничтожно мала в сравнении с массой Земли и ею можно пренебречь; тогда круговая скорость vc на расстоянии r = R + h от центра Земли согласно (2.19) и (2.25) будет

(2.27)

где т - масса Земли, R - ее радиус, g - ускорение силы тяжести у поверхности Земли, h - высота точки запуска спутника от поверхности Земли. У воображаемого спутника, движущегося по окружности у самой поверхности Земли (h = 0), при R = 6,370 ·108 см и g = 981 см/сек2 скорость должна быть равна v1к = 7,91 км/сек. Скорость v1к называется первой космической скоростью относительно Земли. Однако из-за наличия вокруг Земли атмосферы спутник, движущийся у самой ее поверхности, реально существовать не может. Поэтому запуск �СЗ производится на некоторой высоте h (h > 150 км). Круговая скорость на высоте h меньше первой космической скорости v1к и определяется из уравнения (2.27) или по формуле . Элементы орбиты �СЗ зависят от места и времени его запуска, от величины и направления начальной скорости. Связь между большой полуосью а орбиты спутника и его начальной скоростью v0 , согласно интегралу энергии (2.18), определяется формулой где r0 - расстояние точки выхода �СЗ на орбиту от центра Земли. Обычно запуск �СЗ производится горизонтально, точнее, перпендикулярно к радиальному направлению. Эксцентриситет орбиты е при горизонтальном запуске равен где q - расстояние перигея (ближайшей точки орбиты от центра Земли). В случае эллиптической орбиты (рис. 35) q = а (1 - е) = R + hП , где hП линейная высота перигея над поверхностью Земли. Расстояние апогея (наиболее удаленной точки орбиты от центра Земли) Q = a (l + e) = R + hA , где hA высота апогея над земной поверхностью. Если запуск произведен в перигее (чего может и не быть), то r0 = q = R + hП .

Зависимость формы орбиты �СЗ от начальной скорости, с которой он выведен на орбиту, показана на рис. 36. Если в точке К спутнику сообщена горизонтальная скорость, равная круговой для этого расстояния от центра Земли, то он будет двигаться по круговой орбите (I). Если начальная скорость. в точке К меньше соответствующей круговой, то спутник будет двигаться по эллипсу (II), а при очень малой скорости по эллипсу (III), сильно вытянутому и пересекающему поверхность Земли; в этом случае запущенный спутник упадет на поверхность Земли, не совершив и одного оборота. Если скорость в точке К больше соответствующей круговой, но меньше соответствующей параболической, то спутник будет двигаться по эллипсу (IV). Примерное расположение эллиптической орбиты спутника в пространстве показано на рис. 37. Здесь i - наклонение орбиты спутника к экватору Земли, < - восходящий узел орбиты, > - нисходящий узел, П - перигей орбиты, А - апогей орбиты, ^ проекция точки весеннего равноденствия на земном экваторе, W - прямое восхождение восходящего узла, w - угловое расстояние перигея от восходящего узла.

Период обращения �СЗ определяется по третьему закону Кеплера (2.23). Он равен или, если иметь в виду (2.25), Если а выражать в километрах, то при R = 6370 км и g = 981 см/сек2 период обращения спутника получится в минутах из следующей формулы: Основных причин, изменяющих орбиту �СЗ, две: действие экваториального утолщения Земли и влияние сопротивления атмосферы Земли. Первая причина вызывает вековые возмущения восходящего узла DW и перигея Dw, которые легко учитываются по формулам небесной механики. Вторая причина вызывает уменьшение большой полуоси а, т.е. высоты h, и изменение формы орбиты. Поскольку плотность атмосферы быстро падает с высотой, основное сопротивление и уменьшение скорости спутник испытывает вблизи перигея. Вследствие этого высота апогея орбиты спутника с каждым оборотом заметно уменьшается (высота перигея уменьшается гораздо медленнее). В результате уменьшается большая полуось и эксцентриситет орбиты; орбита спутника постепенно округляется. Когда высота апогея становится сравнимой с высотой перигея, спутник испытывает торможение и теряет свою скорость вдоль почти всей орбиты, уменьшение высоты апогея и перигея происходит еще быстрее, и спутник, приближаясь по спирали к поверхности Земли, входит в плотные слои атмосферы и сгорает. Так как спутник с каждым оборотом снижается, то его потенциальная энергия уменьшается, часть ее переходит в кинетическую энергию. Это приращение кинетической энергии с избытком покрывает энергию движения, которая теряется при торможении. Поэтому скорость спутника не уменьшается, а наоборот, увеличивается, в то время как орбита уменьшается. Следовательно, по мере снижения спутника его период обращения вокруг Земли сокращается. Описанное возмущенное движение спутника дано в первом приближении. В действительности элементы орбиты спутника испытывают более сложные и разнообразные возмущения. Сжатие Земли, отличие гравитационного поля от поля сферически-симметричной притягивающей массы, вызывают не только вековые возмущения долготы восходящего узла <, и расстояния перигея от узла w. Они являются также причиной их периодических возмущений, а также эксцентриситета е (правда, весьма умеренных) и малых колебаний наклонения орбиты к экватору i. Наличие атмосферы вызывает не только вековое уменьшение большой полуоси а и эксцентриситета е. Боковое давление на спутник, создаваемое вращающей атмосферой, приводит к монотонному изменению i, знак которого определяется направлением движения спутника на орбите. Атмосфера обусловливает также малые периодические изменения < и w. Наконец, возмущающие действия Луны и Солнца вызывают малые периодические возмущения всех элементов орбиты спутника.

§ 60. Движение космических аппаратов

Траектория космического аппарата состоит из двух основных участков: активного и пассивного. Движение на активном участке определяется в основном тягой реактивных двигателей и притяжением Земли. Пассивный участок траектории начинается с момента выключения двигателя последней ступени. На пассивном участке космический аппарат движется под действием притяжения Земли и других тел Солнечной системы (Луны, Солнца, планет). При предварительном расчете космических траекторий пользуются приближенной методикой, которая заключается в следующем. Если скорость аппарата в начале пассивного участка равна (или больше) параболической скорости (2.20) относительно Земли, то, если пренебречь возмущениями, космический аппарат будет двигаться относительно Земли по параболе (или по гиперболе) до тех пор, пока он не выйдет из сферы действия Земли или не войдет в сферу действия другого небесного тела. Сферой действия какого-либо тела с массой т относительно другого тела с массой т' называется область, внутри которой выполняется условие где g и g' - гравитационные ускорения в поле тяготения тел т и т', a Dg и Dg' возмущающие ускорения соответственно со стороны т' и т. Радиус сферы действия равен где r - расстояние между телами т и m'. Например, радиус сферы действия Земли относительно Солнца - 930 000 км, а радиус сферы действия Луны относительно Земли - 66 000 км. Говорить в указанном смысле о сфере действия Солнца можно, строго говоря, лишь как об области пространства, определенной по отношению к звездам. Ниже мы для простоты будем понимать под сферой действия Солнца просто область околосолнечного пространства, за исключением сфер действия планет относительно Солнца. Войдя в сферу действия другого небесного тела, космический аппарат будет двигаться дальше под действием силы притяжения этого тела. Притяжение Земли перестанет оказывать на движение аппарата существенное влияние и будет играть роль возмущающей силы.