(Не)совершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью

В качестве оправдания они рассказали профессору про лопнувшую шину и попросили разрешения все же написать тест. Профессор согласился, составил для них вопросы и рассадил обоих студентов по разным аудиториям. За правильный ответ на первый вопрос (на одной стороне листа) давалось 5 баллов. Студенты перевернули листы и обнаружили на оборотной стороне вопрос, за правильный ответ на который давалось 95 баллов. Вот он: «На котором из колес лопнула шина?» Какова вероятность того, что оба студента ответят одинаково? Мы с отцом решили, что 1 из 16. Верно[68]?»

Нет, не верно. Если студенты солгали, вероятность того, что они напишут один и тот же ответ, равна 1 из 4 (если вам непонятно, почему это так, загляните в примечания в конце книги[69]). А вот теперь, когда мы уже привыкли к тому, чтобы разбирать задачу, составляя список возможных исходов, можно воспользоваться законом пространства элементарных событий и решить задачу Монти Холла.

Как я уже говорил, чтобы решить задачу Монти Холла, не нужно обладать особыми познаниями в математике. Однако необходимо некоторое умение мыслить логически, так что если вы одним глазом читаете эти строки, а другим смотрите повтор «Симпсонов», вам наверняка придется сосредоточиться на чем-то одном. Не переживайте, много времени это не займет – всего несколько страниц.

В задаче Монти Холла фигурируют три двери: за одной нечто ценное, скажем, шикарная красная «мазерати», за двумя другими – нечто гораздо менее интересное, скажем, полное собрание сочинений Шекспира на сербском. Вы выбрали дверь 1. В таком случае пространство элементарных событий представлено следующими тремя возможными исходами:

? «Мазерати» за дверью 1.

? «Мазерати» за дверью 2.

? «Мазерати» за дверью 3.

Вероятность каждого исхода – 1 из 3. Поскольку предполагается, что большинство все-таки выберет «мазерати», первый исход будем считать выигрышным, а шансы угадать равны 1 из 3.

Далее по сценарию ведущий, заведомо знающий, что находится за каждой из дверей, открывает одну дверь из не выбранных вами, и оказывается, что за дверью собрание сочинений Шекспира. Поскольку, открывая эту дверь, ведущий использовал свое знание о предметах за дверями, чтобы не раскрыть местонахождение «мазерати», данный процесс нельзя назвать случайным в прямом смысле этого слова. Существуют два варианта, которые стоит обдумать.

Первый – вы изначально делаете правильный выбор. Назовем такой случай «счастливой догадкой». Ведущий наугад откроет либо дверь 2, либо дверь 3, и если вы предпочтете сменить свою дверь, вместо шикарной, с ветерком поездки станете владельцем «Троила и Кресиды» на чакавском диалекте[70]. В случае «счастливой догадки» лучше, конечно, не соблазняться предложением сменить дверь, однако вероятность выпадения «счастливой догадки» равна всего лишь 1 из 3.

Второй – вы сразу же указываете не на ту дверь. Назовем такой случай «ошибочной догадкой». Шансы, что вы не угадаете, равны 2 из 3, так что «ошибочная догадка» в два раза вероятнее, чем «счастливая догадка». Как «ошибочная догадка» отличается от «счастливой догадки»? При «ошибочной догадке» «мазерати» находится за одной из тех дверей, которые вы обошли своим вниманием, а за другой такой – томики Шекспира на сербском. В противоположность «счастливой догадке» в этом варианте ведущий открывает невыбранную дверь не наугад. Поскольку он не собирается открывать дверь с «мазерати», он именно что выбирает ту самую дверь, за которой машины нет. Другими словами, в «ошибочной догадке» ведущий вмешивается в то, что до той поры называлось случайным процессом. Таким образом, процесс уже не может считаться случайным: ведущий пользуется своими знаниями, чтобы повлиять на результат, и тем самым отрицает само понятие случайности, гарантируя, что при смене двери участник получит это шикарное авто. Из-за подобного вмешательства происходит следующее: вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки», и, следовательно, выигрываете при смене двери и проигрываете, если отказываетесь сменить ее.

В итоге получается: если вы оказываетесь в ситуации «счастливой догадки» (вероятность которой 1 из 3), вы выигрываете при условии, если остаетесь при своем выборе. Если вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки» (вероятность которой 2 из 3), то под влиянием действий ведущего вы выигрываете при условии, если меняете первоначальный выбор. Итак, ваше решение сводится к догадке: в какой ситуации вы окажетесь? Если вы чувствуете, что вашим изначальным выбором руководит шестое чувство, что вас направляет сама судьба, может, и не стоит менять свое решение. Но если вам не дано завязывать ложки узлами с помощью одной только силы мысли, то наверняка шансы того, что вы попали в ситуацию «ошибочной догадки», равны 2 к 1, так что лучше сменить дверь. Вот и статистика телепередачи подтверждает: те, кто оказывался в подобной ситуации и изменял свое первоначальное решение, выигрывали примерно в два раза чаще, чем те, кто стоял на своем.

Задача Монти Холла трудна для восприятия, потому что тут нужно хорошенько подумать, иначе роль ведущего (прямо скажем, как роль мамы в нашей жизни) останется недооцененной. В то время как ведущий направляет игру в определенное русло. Роль ведущего станет очевидной, если мы предположим, что вместо 3 дверей у нас их 100. Вы, как и прежде, выбираете дверь 1, однако теперь ваша вероятность угадать равна 1 из 100. А шансы того, что «мазерати» спрятана за одной из оставшихся дверей, равны 99 из 100. Как и прежде, ведущий открывает все двери, кроме той, которую вы не выбрали, при этом не открывая ту самую дверь, за которой находится «мазерати» (если, конечно, такая дверь остается). После этого шансы того, что «мазерати» скрывается за дверью, которую выбрали вы, равны по-прежнему 1 из 100, а шансы того, что «мазерати» находится за другой дверью, все так же равны 99 из 100. Но теперь благодаря вмешательству ведущего остается только одна дверь, представляющая все 99 тех, других дверей, и таким образом вероятность нахождения «мазерати» за этой оставшейся дверью равняется 99 из 100!

Возникни задача Монти Холла во времена Кардано, интересно, чью бы позицию тот занял: Мэрилин вос Савант или Поля Эрдеша? Задача легко решается с помощью закона пространства элементарных событий, однако сказать наверняка мы все равно не можем, поскольку самое раннее упоминание о подобной задаче (под другим названием) возникает в 1959 г., в статье Мартина Гарднера в «Сайентифик Америкэн»[71]. Гарднер назвал задачу «поразительной, сбивающей с толку задачей» и заметил, что «ни в одной другой области математики не совершают досадных промахов с такой легкостью, как в области теории вероятностей». Конечно, для математика досадный промах чреват разве что конфузом, а вот для игрока это вопрос, скажем прямо, жизненно важный. Поэтому нет ничего удивительного в том, что когда дело дошло до первой систематически изложенной теории вероятностей, именно Кардано как заядлый игрок и решил разобраться в ней.

Однажды, когда Кардано был еще подростком, у него внезапно умер друг. Прошло всего несколько месяцев, и Кардано заметил, что никто о друге больше и не вспоминает. Что его порядком опечалило, оставив отпечаток в душе. Как можно справиться с тем, что жизнь преходяща? И Кардано решил, что единственный способ – оставить после себя что-то: наследников, труды на века, а может, и то, и другое. В своей автобиографии Кардано пишет о том, что развивает в себе «непоколебимое стремление» оставить след на земле[72].

Выучившись на врача, Кардано вернулся в Милан и стал подыскивать работу. Еще во время учебы он написал труд «О разных взглядах на врачей», в котором по сути дела обозвал всех представителей медицины кучкой шарлатанов. И Миланский университет отплатил Кардано той же монетой, не дав ему места. Это значило, что он не мог заниматься врачебной практикой в Милане. На деньги, заработанные частными уроками и азартными играми, Кардано купил домишко на востоке страны, в Пиове-ди-Сакко. Он надеялся, что в этом городке дела у него пойдут хорошо, потому что там часто случались эпидемии, а врача не было. Однако, проводя свое маркетинговое исследование, Кардано совершил роковую ошибку: врача в городишке не было потому, что население предпочитало обращаться к знахарям и священникам. В результате по прошествии нескольких лет напряженной работы и учебы Кардано оказался с мизерным доходом и уймой свободного времени. Такая передышка в жизни выпала как нельзя кстати – Кардано воспользовался возможностью и взялся за перо. Одной из его работ и оказался «Трактат об азартных играх».

В 1532 г., проведя пять лет в Пиове-ди-Сакко, Кардано вернулся в Милан: он надеялся опубликовать свою работу и, кроме того, снова подал прошение о членстве в гильдии врачей. И в одном, и в другом он потерпел сокрушительное поражение. «В те дни, – писал Кардано, – я до того пал духом, что ходил к гадалкам и магам в надежде выпутаться из моих многочисленных затруднений»[73]. Один маг обнаружил в его жизни пагубное влияние Луны. Другой дал рекомендацию трижды чихнуть сразу после пробуждения утром и постучать по дереву. Кардано выполнял все предписания, но ему по-прежнему не везло. И вот под покровом ночи, накинув капюшон, он проникал в дома тех больных, которые не могли заплатить установленную гильдией врачей плату или же никак не поправлялись. В автобиографии Кардано писал, что в дополнение к деньгам от подпольной врачебной практики «вынужден был снова вернуться к азартным играм, чтобы содержать жену, и здесь-то мои знания одолели судьбу – у нас появились деньги на еду и жилье, хотя последнее и оставляло желать много лучшего»[74]. Что до «Трактата об азартных играх», то хотя в последующие годы Кардано неоднократно пересматривал его и исправлял, он уже не пытался напечатать работу. Возможно, понимал: глупо учить других играть так же хорошо, как он сам.

В конце концов Кардано добился своей цели – обрел и наследников, и славу – да вдобавок ко всему и неплохие деньги. У него завелись средства, когда он опубликовал книгу на основе своей еще студенческой работы, изменив при этом наукообразное название «О разных взглядах на врачей» на более живое: «О повсеместно укоренившейся недобросовестной медицинской практике». Книга вмиг разошлась. Затем один из его тайных пациентов, настоятель известного августинского монашеского ордена, внезапно (и скорее всего по чистой случайности) пошел на поправку, что было приписано умелому лечению Кардано. Итак, слава Кардано как искусного врача взлетела до таких высот, что его не только приняли в гильдию врачей, но и предложили должность ректора в колледже. Кардано тем временем опубликовал еще несколько трудов, и они пользовались успехом, особенно тот, который из соображений сделать более понятным для широкой общественности назвали «Практическая арифметика». Еще через несколько лет Кардано издал уже научный труд «Ars magna», или «Великое искусство», – трактат по алгебре. В трактате Кардано впервые дал четкое представление об отрицательных числах и произвел анализ некоторых алгебраических уравнений, завоевав тем самым еще большую известность. В середине 1550-х гг., когда Кардано было за пятьдесят, он уже всего добился: и кафедры медицины в Университете Павии, и богатства.

Но вскоре удача от него отвернулась. Если говорить в общем, то Кардано пострадал от своего же наследия – от детей. Дочь Кьяра (названная так в честь матери) в шестнадцать лет соблазнила старшего брата, Джованни, и забеременела от него. Аборт был сделан удачно, однако в будущем Кьяра не могла иметь детей. Что, впрочем, устраивало ее как нельзя лучше, потому как она отличалась крайней распущенностью, причем даже после замужества, и в конце концов заразилась сифилисом. Джованни пошел по стопам отца, поступив учиться на врача, однако вскоре приобрел большую известность как мелкий мошенник, причем настолько большую, что некая семейка проходимцев шантажом заставила его жениться на своей дочери – якобы имелись доказательства того, что Джованни отравил некого чиновника. Тем временем Альдо, младший сын Кардано, в детстве истязавший животных, превратил свое любимое занятие в профессию – поступил на службу к Инквизиции пытать еретиков. Как и старший брат, он подрабатывал мошенничеством.

Через несколько лет после женитьбы старший сын Кардано дал одному из слуг некую микстуру – чтобы тот добавил ее в пирог для жены. Жена после съеденного десерта упала замертво. Власти догадались, что к чему. Джероламо потратил уйму денег на адвокатов, пытался задействовать свои связи, свидетельствовал в пользу сына, но ничего не помогло – молодого Джованни казнили в тюрьме. Пробоина в финансах Кардано, а также его подмоченная репутация сделали его уязвимым для старых врагов. Власти Милана вычеркнули имя Кардано из списка тех, кому разрешалось читать лекции, обвинили его в содомии и инцесте, изгнали из города. Когда в конце 1563 г. Кардано уезжал из Милана, он написал в автобиографии, что «снова оказался в нищете, без средств, без источника существования, без права снимать дом и продавать свои книги»[75]. К тому времени у него стало плохо с головой – временами он начинал бессвязно бормотать. Последний удар ему нанес математик-самоучка Никколо Тарталья, недовольный тем, что в «Высоком искусстве» Кардано раскрыл его метод решения некоторых уравнений без его на то ведома. Тарталья подговорил Альдо дать свидетельские показания против своего отца, обещая за то место в Инквизиции – пытать и казнить еретиков в Болонье. Кардано недолго просидел в тюрьме – последние свои годы он тихо доживал в Риме. «Трактат об азартных играх» был все же напечатан, но уже в 1663 г., спустя сто лет после того, как юный Кардано изложил свое исследование на бумаге. К тому времени его аналитические методы были изобретены заново и усовершенствованы.

Примечания

1

Stanley Meisler, “First in 1763: Spain Lottery – Not Even War Stops It”, Los Angeles Times, December 30, 1977.

2

О баскетболе: Michael Patrick Allen, Sharon K. Panian, and Roy E. Lotz, “Managerial Succession and Organizational Performance: A Recalcitrant Problem Revisited”, Administrative Science Quarterly 24, no. 2 (June 1979): 167–80; о футболе: M. Craig Brown, “Administrative Succession and Organizational Performance: The Succession Effect”, Administrative Science Quarterly 27, no. 1 (March 1982): 1–16; о бейсболе: Oscar Grusky, “Managerial Succession and Organizational Effectiveness”, American Journal of Sociology 69, no. 1 (July 1963): 21–31, and William A. Gamson and Norman A. Scotch, “Scapegoating in Baseball”, American Journal of Sociology 70, no. 1 (July 1964): 69–72; об американском футболе: Ruud H. Koning, “An Econometric Evaluation of the Effect of Firing a Coach on Team Performance”, Applied Economics 35, no. 5 (March 2003): 555–64.

3

James Surowiecki, The Wisdom of Crowds (New York: Doubleday, 2004), pp. 218–19.

4

Armen Alchian, “Uncertainty, Evolution, and Economic Theory”, Journal of Political Economy 58, no. 3 (June 1950): 213.

5

Шведский психиатр. Изобрел названный его именем тест, заключающийся в интерпретации набора чернильных пятен различной конфигурации и цвета, имеющих определенный смысл для диагностики скрытых установок, побуждений, свойств характера. (Здесь и далее – прим. перев.)

6

Kerstin Preuschoff, Peter Bossaerts, and Steven R. Quartz, “Neural Differentiation of Expected Reward and Risk in Human Subcortical Structures”, Neuron 51 (August 3, 2006): 381–90.

7

Benedetto De Martino et al., “Frames, Biases, and Rational Decision-Making in the Human Brain”, Science 313 (August 4, 2006): 684–87.

8

Бертран Рассел, «Исследование значения и истины». Общ. науч. ред. и примеч Е. Е. Ледникова. – М.: Идея-Пресс: Дом интеллектуальной книги, 1999 г.

9

Matt Johnson and To m Hundt, “Hog Industry Targets State for Good Reason”, Vernon County (Wisconsin) Broadcaster, July 17, 2007.

10

Kevin McKean, “Decisions, Decisions”, Discover, June 1985, pp. 22–31.

11

David Oshinsky, “No Thanks, Mr. Nabokov”, New York Times Book Review, September 9, 2007.

12

Данные прессы о количестве отрицательных ответов на предложение о публикации этих рукописей несколько отличаются.

13

William Goldman, Adventures in the Screen Trade (New York: Warner Books, 1983), p. 41.

14

См. Arthur De Vany, Hollywood Economics (Abington, U.K.: Routledge, 2004).

15

William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, 2nd ed. (New York: John Wiley and Sons, 1957), p. 68. Обратите внимание на то, что ради упрощения Феллер в случае, когда ни один из оппонентов не получает преимущества, отдает главенство тому, кто оказался впереди в предыдущем испытании.

16

Leonard Mlodinow, “Meet Hollywood’s Latest Genius”, Los Angeles Times Magazine, July 2, 2006.

17

Variety – американский еженедельный журнал об индустрии развлечений, выходит с 1905 г.

18

Dave McNary, “Par Goes for Grey Matter”, Variety, January 2, 2005.

19

Ronald Grover, “Paramount’s Cold Snap: The Heat Is On”, BusinessWeek, November 21, 2003.

20

Dave McNary, “Parting Gifts: Old Regime’s Pics Fuel Paramount Rebound”, Variety, August 16, 2005.

21

Anita M. Busch, “Canton Inks Prod’n Pact at Warner’s”, Variety, August 7, 1997.

22

Отбивка мяча за пределы игрового поля над частью бейсбольного поля, ограниченной штрафными линиями первой и третьей баз, после которого отбивающий и его партнеры, находящиеся на базах, получают право пробежать по всем базам и вернуться в «дом».

23

“The Making of a Hero”, Time, September 29, 1961, p. 72. Бейсбольным ветераном был Роджерс Норнсби.

24

“Mickey Mantle and Roger Maris: The Photographic Essay”, Life, August 18, 1961, p. 62.

25

Для тех, кто не разбирается в бейсболе: база – это резиновая пластина, вделанная в землю, на которую игрок встает перед тем, как попытаться отбить мяч Для тех, кто в бейсболе разбирается: обратите внимание на то, что я включил в свое определение возможностей пропуски на базу (перемещение бьющего на первую базу после четырех неточно выполненных подач подающего – прим. перев.). При повторных подсчетах, с учетом лишь официальных выходов на биту, результат получается примерно таким же.

26

См. Stephen Jay Gould, “The Streak of Streaks”, New York Review of Books, August 18, 1988, pp. 8–12 (далее мы ознакомимся с ними подробнее). Очевидный и математически подробный анализ моделей с подбрасыванием монеты, применимый к спорту, упоминается в главе 2 книги, над которой в настоящее время трудятся Charles M. Grinstead, William P. Peterson, and J. Laurie Snell и чье рабочее название звучит следующим образом: Fat Chance; www.math.dartmouth.edu/~prob/prob/NEW/bestofchance.pdf

27

Показатель текущего состояния игрока: игрок «не в форме» или «в ударе», соответственно.

28

Daniel Kahneman, Paul Slovic, and Amos Tversky, eds., Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases (Cambridge: Cambridge University Press, 1982), pp. 90–98.

29

Amos Tversky and Daniel Kahneman, “Extensional versus Intuitive Reasoning: The Conjunction Fallacy in Probability Judgment”, Psychological Review 90, no. 4 (October 1983): 293–315.

30

Craig R. Fox and Richard Birke, “Forecasting Trial Outcomes: Lawyers Assign Higher Probabilities to Possibilities That Are Described in Greater Detail”, Law and Human Behavior 26, no. 2 (April 2002): 159–73.

31

Перев. с греч. и ком. Д. Мордухай-Болтовского, ОГИЗ, М. Л., 1948 г.

32

Кость между большеберцовой и пяточной, у копытных – надкопытная кость, или бабка. На Руси игра так и называлась – «бабки».

33

Платон, «Диалоги Платона», перев. С. Маркиша, М. 1965 г.

34

Платон, «Теэтет», собр. Соч. в четырех томах. М., 1993 г.

35

Amos Tversky and Daniel Kahneman, “Availability: A Heuristic for Judging Frequency and Probability”, Cognitive Psychology 5 (1973): 207–32.

36

Reid Hastie and Robyn M. Dawes, Rational Choice in an Uncertain World: The Psychology and Judgement of Decision Making (Thousand Oaks, Calif.: Sage, 2001), p. 87.

37

Robert M. Reyes, William C. Thompson, and Gordon H. Bower, “Judgmental Biases Resulting from Differing Availabilities of Arguments”, Journal of Personality and Social Psychology 39, no. 1 (1980): 2–12.

38

Robert Kaplan, The Nothing That Is: A Natural History of Zero (London: Oxford University Press, 1999), pp. 15–17.

39

Cicero, quoted in Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (London: Oxford University Press, 1972), 1:179.

40

Morris Kline, Mathematics in Western Culture (London: Oxford University Press, 1953), p. 86.

41

Клайн, «Математическая мысль», с.178–179.

42

Cicero, quoted in Warren Weaver, Lady Luck (Mineola, N.Y.: Dover Publications, 1982), p. 53.

43

Cicero, quoted in F. N. David, Gods, Games and Gambling: A History of Probability and Statistical Ideas (Mineola, N.Y.: Dover Publications, 1998), pp. 24–26.

44

Cicero, quoted in Bart K. Holland, What Are the Chances? Voodoo Deaths, Office Gossip, and Other Adventures in Probability (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002), p. 24.

45

Cicero, quoted in Bart K. Holland, What Are the Chances? Voodoo Deaths, Office Gossip, and Other Adventures in Probability (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2002), p. 25.

46

James Franklin, The Science of Conjecture: Evidence and Probability before Pascal (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 2001), pp. 4, 8.

47

Quoted ibid., p. 13.

48

Quoted ibid., p. 14.

49

William C. Thompson, Franco Taroni, and Colin G. G. Aitken, “How the Probability of a False Positive Affects the Value of DNA Evidence”, Journal of Forensic Sciences 48, no. 1 (January 2003): 1–8.

50

Ibid., p. 2. The story is recounted in Bill Braun, “Lawyers Seek to Overturn Rape Conviction”, Tulsa World, November 22, 1996. See alsowww.innocenceproject.org. (Durham was released in 1997.)

51

People v. Collins, 68 Calif. 2d 319, 438 P.2d 33, 66 Cal. Rptr. 497 (1968).

52

Thomas Lyon, private communication.

53

Alan Wykes, Doctor Cardano: Physician Extraordinary (London: Frederick Muller, 1969). See also Oystein Ore, Cardano: The Gambling Scholar, with a translation of Cardano’s Book on Games of Chance by Sydney Henry Gould (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1953)

54

Marilyn vos Savant, “Ask Marilyn”, Parade, September 9, 1990.

55

Азуса – город в Калифорнии.

56

Bruce D. Burns and Mareike Wieth, “Causality and Reasoning: The Monty Hall Dilemma”, in Proceedings of the Twenty-fifth Annual Meeting of the Cognitive Science Society, ed. R. Alterman and D. Kirsh (Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum Associates, 2003), p. 198.

57

National Science Board, Science and Engineering Indicators–2002 (Arlington, Va.: National Science Foundation, 2002); http://www. nsf.gov/statistics/seind02/. See vol. 2, chap. 7, table 7-10.

58

Gary P. Posner, “Nation’s Mathematicians Guilty of Innumeracy”, Skeptical Inquirer 15, no. 4 (Summer 1991).

59

Bruce Schechter, My Brain Is Open: The Mathematical Journeys of Paul Erdos (New York: Touchstone, 1998), pp. 107–9.

60

Bruce Schechter, My Brain Is Open: The Mathematical Journeys of Paul Erdos (New York: Touchstone, 1998), pp. 189–90, 196-97.

61

John Tierney, “Behind Monty’s Doors: Puzzle, Debate and Answer?” New York Times, July 21, 1991.

62

Robert S. Gottfried, The Black Death: Natural and Human Disaster in Medieval Europe (New York: Free Press, 1985).

63

Gerolamo Cardano, quoted in Wykes, Doctor Cardano, p. 18.

64

Kline, Mathematical Thought, pp. 184–85, 259–60.

65

«Дорогая Эбби» – название известной колонки советов, начатой в 1956 г. Полин Филлипс, писавшей под псевдонимом Абигайль ван Бюрен.

66

“Oprah’s New Shape: How She Got It”, O, the Oprah Magazine, January 2003.

67

Lorraine J. Daston, Classical Probability in the Enlightenment (Princeton, N.J.: Princeton University Press, 1998), p. 97.

68

Marilyn vos Savant, “Ask Marilyn”, Parade, March 3, 1996, p. 14.

69

У машины четыре колеса, и если буквами ПП обозначить правое переднее колесо, ну и так далее, получится 16 возможных комбинаций ответов студентов. Если первый ответ из списка означает ответ студента № 1, а второй – ответ студента № 2, получатся следующие возможные совместные ответы: (ПП, ПП), (ПП, ЛП), (ПП, ПЗ), (ПП, ЛЗ), (ЛП, ПП), (ЛП, ЛП), (ЛП, ПЗ), (ЛП, ЛЗ), (ПЗ, ПП), (ПЗ, ЛП), (ПЗ, ПЗ), (ПЗ, ЛЗ), (ЛЗ, ПП), (ЛЗ, ЛП), (ЛЗ, ПЗ), (ЛЗ, ЛЗ). Из этих 16 комбинаций 4 совпадают: (ПП, ПП), (ЛП, ЛП), (ПЗ, ПЗ), (ЛЗ, ЛЗ). Таким образом, шансы равны 4 из 16, или 1 из 4.

70

Чакавский диалект распространен на островах и побережье Адриатического моря, большей части Истрии и часть северной Хорватии.

71

Martin Gardner, “Mathematical Games”, Scientific American, October 1959, pp. 180–82.

72

Jerome Cardan, The Book of My Life: De Vita Propia Liber, trans. Jean Stoner (Whitefish, Mont.: Kessinger, 2004), p. 35.

73

Cardano, quoted in Wykes, Doctor Cardano, p. 57.

74

Cardano, quoted ibid.

75

Cardano, quoted ibid., p. 172.

Конец бесплатного ознакомительного фрагмента.